18.1《勾股定理的证明》教学实录。
教学实录。师：上课！
值日班长：起立！
师：同学们好！
生：老师好！
师：请坐．生：谢谢老师！
师：同学们来看我们课本封面上的这个图形（教师边说边指），大家对这个图形有所了解吗？
生：我预习时通过网上查阅，知道这个图形叫做赵爽弦图，是用来证明勾股定理的图形．
师：这位同学很不错，课后通过网络知识增加了自己的阅历，还有不同的了解吗？
生：我知道这张图曾作为第24届数学家大会的会徽．
评析〗通过此活动教师可以了解学生课前预习的热心程度，同时也为进行爱国主义等情感教育提供了丰富的素材．
师：是的，看来你们课后都认真进行了了解．是的，这是用来证明勾股定理的图形．今天我们就和大家来学习勾股定理．（教师板演课题）勾股定理是一个比较古老的定理，证明的方法比较多，有很多数学家都为此进行过**，利用这张图只是其中一种很典型的方法．我们来看一位科学家对此的研究：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2023年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．同学们，请你也来观察图中的地面，看看能发现些什么？
学生观察图形，独立思考的场景．
评析〗利用故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态，促进了学生**新知的热情．
师：我们来听听同学们发现了什么？
生：我发现两条直角边的和与斜边的比是3∶4．
师：你是怎样得到这个结论的？
生：我是画到纸上通过刻度尺来量的．
师：很好，通过度量的方法是发现数量关系的一种很可行的方法，那么这位同学发现的这个结论是对的吗？
生：我觉得度量也有误差的，还需要来验证，他应该向我们说明是不是3∶4的关系．我发现的结论是中间白色的直角三角形的两边的平方和等于斜边的平方．
师：那你又是如何来发现的呢？
生：从图中可以得到正方形a、b、c面积之间满足，而且这些小的直角三角形都是全等的，所以假设小正方形a的边长为1，于是可以得到大正方形c的边长是，于是可以得到直角三角形的两边的平方和等于斜边的平方．
师：你的思考很棒！其实你已经回答了（2）（3）两问的问题，那么等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
如图，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是的直角三角形．仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形．想一想，怎样利用小方格计算正方形a、b、c面积？
评析〗教师让学生充分展示自己的思维过程，在不同学生之间的交流中让学生的思维得到碰撞，教师评价与学生评价相结合，保留了不足者的“面子”，从而增强了他学好数学的信心．
学生思考，相互交流的场景．
师：我们关键来看看正方形c的面积是如何来计算的？
此时一位学生走到讲台前利用黑板上的图形说明，他采用的方法是（如图）：
师：通过正方形a、b、c之间的面积关系，同学们猜想一下直角三角形三边之间有何数量关系？
学生独立思考并相互交流讨论的场景．
生：由可以得到直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
师：你具体说说看．
生：我设正方形a、b、c的边长分别是a，b，c，则，，，所以由得：．
师：是的，这就是一般的直角三角形中三边之间的数量关系，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（教师边说边板演）．这就是勾股定理．用符号语言如何来表示呢？
生：用符号语言来表示就是：rt△abc，∠c=90°，两直角边分别为a，b，斜边为 c，则．（教师板演）
评析〗教者放手于学生自主**，让学生在观察、交流中归纳出结论．整个过程可以说是水到渠成，主要是教者注重了以学生为主体的教学理念，渗透了由一般到特殊的数学思想，使学生在积极的氛围中掌握了学习的方法．
学生动手拼图，相互合作，相互交流，教师再通过多**课件演示图形的变化，展示勾股定理的证明过程．
评析〗数学课程标准》中指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动．有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．
师：这个式子反映了直角三角形三边之间的关系，当知道两条边的长就可以通过此公式求得第三条边的长．大家思考一下，经过式子变形，写出a，b，c各为多少？
生：，，师：好，我们先来看一下课前延伸第二题的题目．
生：我第一题的答案是13cm．
师：对的，像这样作为直角三角形的三边长的整数，我们称作勾股数，注意勾股数一定是整数．好，谁来说说第二题．
生：我是5米．
另一位学生迫不及待地回答：我认为是7米．
师：那你说说你是如何得到7米的？
生：首先由勾股定理得到垂直距离是3米，而地毯的长应该是水平距离加上垂直距离，所以为7米．
师：是的，你分析得很不错，应该是7米．下面大家再来一组练习．
1．在rt△abc，∠c=90°
已知a=b=5，求c．
已知a=1，c=2，求b．
已知c=17，b=8，求a．
已知a：b=1：2，c=5，求a．
2．已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
学生练习的场景．
师：我们先来看第1小题，谁来说说答案？
生：我的答案是，，15，．
师：那么你的第（3）和第（4）小题是如何计算得到的？
生：第（3）小题是．
师：你在计算时是如何计算的？
生：就先平方再计算结果．
师：大家同意吗？
又一生：我认为不需要，根号下面运用平方差公式就更简单．
师：你说得很好，我们计算时根据式子的特点灵活运用．好，你再说说第（4）是如何得到的？
生：我设，由得到关于x的方程，解得．
师：是的，在运用勾股定理时，经常采用方程的思想．好，谁再来说说第2题．
生：我的答案是13．
又一生：我的答案是13或，因为题目中并没有说已知的这两条边是直角边，所以要分两种情况：一种是这两条边是直角边，一种是5是直角边，12是斜边．
评析〗教者有选择性地进行练习评讲，抓住知识的难点、易错点，体现了注重高效课堂的教学理念；教者在讲评时，注重生生之间的评价，放手于学生，形成高涨的生生互动氛围；教者在题组设计时注重知识之间的联系和区别， 使学生对该知识点有全面的认识，培养了学生的建构能力；同时教者也不忘数学思想方法的渗透，比如方程的思想，分类讨论的思想等等．
师：你分析得很具体．我们来看看勾股定理在生活中的应用．
1．小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
2．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高？
学生练习的场景．
师：大家有结果了吗？
生：我不同意小明的说法，74厘米应该是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽．
师：但大家算下来会发现对角线的长不是74厘米，是因为荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．好，第2题呢？
生：我的答案是24米．
师：说说你的思路．
生：首先由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：＝15(m)，再加上断裂处到地面的距离9m， 所以旗杆折断之前高为24m．
评析〗数学离不开生活，生活也离不开数学，生活数学的问题越来越成为热点，学生通过本组练习能够进一步认识到学习数学的意义，增强学好数学服务社会的信心．
师：你说得不错，今天我们共同学习了勾股定理，通过本节课的学习你有哪些收获？
生：我了解了勾股定理的历史．
生：我知道了勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系，当已知直角三角形中两条边的长度时，我们可以运用勾股定理求得第三边的长．
生：我知道了勾股定理的证明方法．
生：我知道了什么叫勾股数．
生：我知道了勾股定理在实际生活中也有一定的运用．
师：大家都说得很好，好，这节课我们就上到这里，课后请大家完成课后提升的题目．
评析〗新的课程理念提倡：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展．所以对于同一节课不同的学生之间的认识应该是不尽相同，教者让他们充分展示自己的收获，实际上也是情感上的一次充分交流．
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