勾股定理的逆定理（基础）
学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力。
要点梳理】高清课堂勾股定理逆定理知识要点】
要点。一、勾股定理的逆定理。
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形。
2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。
要点。二、如何判定一个三角形是否是直角三角形。
1） 首先确定最大边（如）.
2） 验证与是否具有相等关系。若，则△abc是∠c＝90°的直角三角形；若，则△abc不是直角三角形。
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边。
要点。三、勾股数。
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
典型例题】类型。
一、勾股定理的逆定理
1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
答案与解析】
解：（1）∵
由线段组成的三角形是直角三角形．
由线段组成的三角形不是直角三角形．
由线段组成的三角形是直角三角形．
总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．
举一反三：高清课堂勾股定理逆定理例3】
变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）
a．20:15:12 b．3:4:5 c．5:4:3 d．10:8:2
答案】a；提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：，即20:15:12.
2、如图所示，在四边形abcd中，ab＝3，bc＝4，cd＝12，ad＝13，∠b＝∠90°，求四边形abcd的面积．
答案与解析】
解：连接ac，在△abc中，因为∠b＝90°，ab＝3，bc＝4，所以，所以ac＝5，在△acd中，ad＝13，dc＝12，ac＝5，所以，即．
所以△acd是直角三角形，且∠acd＝90°．
所以。总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由ab＝3，bc＝4，∠b＝90°，应想到连接ac，则在rt△abc中即可求出△abc的面积，也可求出线段ac的长．所以在△acd中，已知ac，ad，cd三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△acd的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．
类型。二、勾股定理逆定理的应用。
3、已知：为的三边且满足，试判断的形状。
答案与解析】
解：∵ △abc是直角三角形。
总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系。对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等。
举一反三：变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△abc的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△abc的形状．
解：a2c2﹣b2c2=a4﹣b4第一步。
c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2第二步。
c2=a2+b2第三步。
△abc为直角三角形第四步。
问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误。
2）错误的原因是。
3）本题正确的结论是。
答案】解：（1）第三步；
2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；
3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
c2=a2+b2或a2﹣b2=0
a2﹣b2=0
a+b=0或a﹣b=0
a+b≠0c2=a2+b2或a﹣b=0
c2=a2+b2或a=b
该三角形是直角三角形或等腰三角形．
4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
答案与解析】
解：根据题意可画出上图，pq＝16×1.5＝24，pr＝12×1.5＝18，qr＝30，在△pqr中， ．
△pqr是直角三角形且∠rpq＝90°．
又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠qpn＝45°， rpn＝45°．
由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．
总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．
八年级数学勾股定理的逆定理
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