考点·方法·破译。
1．会用勾股定理解决简单问题。
2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证。
经典·考题·赏析。
例1】 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形a、b、c、d的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形e的面积是( )
a．13b．26c．47d．94
变式题组】01．如图，直线l过正方形abcd的顶点b，点a，c到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是。
02．在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是s1，s2，s3，s4，则s1＋s2＋s3＋s4＝__
03．如图，已知△abc中，∠abc＝90°，ab＝bc，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则ac的长是( )
a． b． cd．7
例2】如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点a开始经过4个侧面缠绕一圈到达点b，那么所用细线最短需要___cm；如果从点a开始经过4个侧面缠绕n圈到达点b，那么所用细线最短需要___cm.
变式题组】01．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点b离点c的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点a爬到点b，需要爬行的最短距离是( )
a． b．25cd．35
02. 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边ab距离为1cm，到上盖中与ab相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为___cm.
(精确到个位，参考数据： ＝1．4，＝1．7: ＝2．2)
03． 若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为___cm.(铁丝粗细忽略不计)
例3】 如图，将边长为8cm的正方形abcd折叠，使点d落在bc边的中点e处，点a落在f处，折痕为nm，则线段cn的长是( )
a．3cmb．4cmc．5cmd．6cm
变式题组】01．在四边形abcd中，∠b＝90°，ab＝4，bc＝3，cd＝13，ad＝12．求s四边形abcd．
02．如图，△abc中，ab＝13，ad＝6，ac＝5 ，d为bc边的中点。求s△abc．
03．如图，△abc中，∠acb＝90°，ad平分∠cab，bc＝4，cd＝.求ac．
例4 】如图，直线ob是一次函数y＝－2x的图象，点a的坐标为(0，2)，在直线ob上找点c，使得△aco为等腰三角形，求点c坐标。
解法指导】求c点坐标需分类讨论。
1)若以o为顶点，oa为腰，则c在以o为圆心，oa的长为半径的圆与y＝－2x的交点处。
2)若以a为顶点，ao为腰，则c在以a为圆心， ao的长为半径的圆与y＝－2x的交点处。
3)若以c为顶点，则c在oa的中垂线与y＝－2x的交点处。
解】⑴若以o为顶点，oa为腰，如图设c(t，－2t)，则在rt△cod中，oc2＝od2＋cd2 4＝t2＋(－2t)2 5t2＝4 t＝
c1(，）c2(，）
若以a为顶点，ao为腰，如图，设c(t，－2t)，在rt△ace中。
ac2＝ce2＋ae2 22＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝ ∴c3(，)
若c为顶点，c在oa的中垂线上。∴c4(，1)
变式题组】01．若a（3，2），b为x轴上一点，o为坐标原点。若△aob是等腰三角形。求b点坐标。
02．如图，在平面直角坐标系中，a(4，0)，b为y＝2x上一点，若△aob为等腰三角形。求b点坐标。
03．如图。在平面直角坐标系中，a(0，4)，b为y＝2x上一点，若△aob为直角三角形。求b点坐标。
例5】几何模型：条件：如下左图，a、b是直线l同旁的两个定点。
问题：在直线l上确定一点p，使pa＋pb的值最小。
方法：作点a关于直线l的对称点a'，连接a'b交l于点p，则pa＋pb＝a'b的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形abcd的边长为2，e为ab的中点，p是ac上一动点。连接bd，由正方形对称性可知，b与d关于直线ac对称。
连接ed交ac于p，则pb＋pe的最小值是。
2)如图2，∠aob＝45°，p是∠aob内一点，po＝10，q、r分别是oa、ob上的动点，求△pqr周长的最小值。
变式题组】01．一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点a（2，0），b（0，4）.
求该函数的解析式；
o为坐标原点，设oa 、ab的中点分别为c、d，p为ob上一动点，求pc＋pd的最小值，并求取得最小值时p点坐标。
02．已知矩形abcd的ab＝12，ad＝3，e、f分别是ab，dc上的点，则折线afec长的最小值为。
03．如图，在锐角△abc中，ab＝，∠bac＝45°，∠bac的平分线交bc于点d，m、n分别是ad和ab上的动点，则bm＋mn的最小值是。
例6】求＋的最小值。
变式题组】01.如图，c为线段bd上一动点，分别过点b、d作ab⊥bd，ed⊥bd，连接ac、ec．已知ab＝5，de＝1，bd＝8，设cd＝x.
用含x的代数式表示ac＋ce的长；
请问点c满足什么条件时，ac＋ce的值最小？
根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式＋的最小值。
02．问题背景：
在△abc中，ab、bc、ac三边的长分别为、、，求这个三角形的面积。小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△abc(即△abc三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示。这样不需求△abc的高，而借用网格就能计算出它的面积。
请你将△abc的面积直接填写在横线上___
思维拓展：我们把上述求△abc面积的方法叫做构图法。若△abc三边的长分别为a、a、a(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△abc，并求出它的面积；
探索创新：若△abc三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积。
例7】.已知rt△abc中，∠acb＝90°，ca＝cb，有一个圆心角为45°，半径的长等于ca的扇形cef绕点c旋转，且直线ce、cf分别与直线ab交于点m、n.
1 扇形cef绕点c在∠acb的内部旋转时，如图1，求证：mn2 ＝ am2＋bn2；
当扇形gef绕点c旋转至图2的位置时，关系式mn2＝am2＋bn2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
变式题组】01．在rt△abc中，∠c＝90°，d为ab边的中点，de⊥df.求证：ef2＝ae2＋bf2
02．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。
写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称___
如图1，请你在图中画出以格点为顶点，oa、ob为勾股边且对角线相等的勾股四边形oamb；
如图2，将△abc绕顶点b按顺时针方向旋转60°，得到△dbe，连接ad、dc，∠dcb＝30°.求证：四边形abcd是勾股四边形。
03．如图1，rt△abc≌rt△edf，∠acb＝∠f＝90°，∠a＝∠e＝30°.△edf绕着边ab的中点d旋转，de、df分别交线段ac于点m、k.
观察：①如图2、图3，当∠cdf＝0°或60°时，am＋ck___mk(填“＞”或“＝”如图4，当∠cdf＝30°时，am＋ck___mk（只填“＞”或“＜”猜想：如图1，当0°＜∠cdf＜60°时，am＋ck___mk，证明你所得到的结论。
2 果mk2＋ck2＝am2，请直接写出∠cdf的度数和的值。
演练巩固·反馈提高。
01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△abc，则ac边上的高为（ ）
a． b． c． d．
02．如图，长方形纸片abcd中，ab＝8cm，把长方形纸片沿直线ac折叠，点b落在点e处，ae交dc于点f，若af＝cm，则ad的长为( )
a．4cm b．5cm c．6cm d．7cm
03．已知△abc中，ab＝17，ac＝10，bc边上的高ad为8，则边bc的长为( )
a．21b．15c．6d．21或9
八年级数学寒假培优勾股定理
勾股定理培优训练2 1 已知 如图，在 abc中，c 90 b 30 ab的垂直平分线交bc于d，垂足为e，bd 4cm 求ac的长 2 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边ac 6，bc 8，现将直角边ac沿直线ad折叠，使其落在斜边ab上，且与ae重合，则cd的长为 3 如图，在矩形abcd中，...
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培优 技法透析 勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的 形 与三边关系这一 数 结合起来，是数形结合思想方法的典范 1 勾股定理反逆定理的应用。主要用于计算和证明等 2 勾股数的推算公式。若任取两个正整数m n m n 那么m2 n2，2mn，m2 n2是一组勾股数 如果k是大于1的奇数...
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18 1 勾股定理 四 一 教学目标。1 会用勾股定理解决较综合的问题。2 树立数形结合的思想。二 重点 难点。1 重点 勾股定理的综合应用。2 难点 勾股定理的综合应用。三 例题的意图分析。例1 补充 双垂图 是中考重要的考点，熟练掌握 双垂图 的图形结构和图形性质，通过讨论 计算等使学生能够灵活...