一．选择题（共4小题）
1．△abc周长是24，m是ab的中点，mc=ma=5，则△abc的面积是（ ）
a．12 b．16 c．24 d．30
2．如图，矩形abcd中，ab=20，bc=10，若在ab、ac上各取一点n、m，使得bm+mn的值最小，这个最小值为（ ）
a．12 b．10 c．16 d．20
3．如图，已知o是矩形abcd内一点，且oa=1，ob=3，oc=4，那么od的长为（ ）
a．2 b．2 c．2 d．3
4．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点a处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
a．13cm b．2cm c．cm d．2cm
二．填空题（共5小题）
5．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为 ．
6．如图，设∠mon=20°，a为om上一点，oa=4，d为on上一点，od=8，c为am上任一点，b是od上任意一点，那么折线abcd的长最小为 ．
7．如图，设p是等边△abc内的一点，pa=3，pb=4，pc=5，则∠apb的度数是 ．
8．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点a沿表面爬行至侧面的b点，最少要用秒钟．
9．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是s1，s2，s3，s4，则s1+s2+s3+s4= ．
三．解答题（共8小题）
10．长方形纸片abcd中，ad=4cm，ab=10cm，按如图方式折叠，使点b与点d重合，折痕为ef，求de的长．
11．如图，a城气象台测得台风中心在a城正西方向320km的b处，以每小时40km的速度向北偏东60°的bf方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
1）a城是否受到这次台风的影响？为什么？
2）若a城受到这次台风影响，那么a城遭受这次台风影响有多长时间？
12．如图所示，折叠长方形的一边ad，使点d落在边bc的点f处，已知ab=8cm，bc=10cm，求ec的长．
13．如图，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，e、f分别是bc上两点，若∠eaf=45°，试推断be、cf、ef之间的数量关系，并说明理由．
14．如图，四边形abcd中，∠abc=135°，∠bcd=120°，ab=，bc=5﹣，cd=6，求ad．
15．已知rt△abc中，∠acb=90°，ca=cb，有一个圆心角为45°，半径的长等于ca的扇形cef绕点c旋转，且直线ce，cf分别与直线ab交于点m，n．
ⅰ）当扇形cef绕点c在∠acb的内部旋转时，如图1，求证：mn2=am2+bn2；
思路点拨：考虑mn2=am2+bn2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△acm沿直线ce对折，得△dcm，连dn，只需证dn=bn，∠mdn=90°就可以了．请你完成证明过程．）
ⅱ）当扇形cef绕点c旋转至图2的位置时，关系式mn2=am2+bn2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
16．结论：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2，pb=，pc=1．求∠bpc度数的大小和等边三角形abc的边长．
李明同学做了如图2所示的辅助线：将△bpc绕点b逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接pp′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一点p，且pa=，bp=，pc=1．求∠bpc度数的大小和正方形abcd的边长．
17．如图，正方形abcd内一点e，e到a、b、c三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．
参***与试题解析。
一．选择题（共4小题）
1．（2013天心区校级自主招生）△abc周长是24，m是ab的中点，mc=ma=5，则△abc的面积是（ ）
a．12 b．16 c．24 d．30
考点】三角形的面积．菁优网版权所有。
专题】计算题．
分析】由m是ab的中点，mc=ma=5可知ma=mb=mc，依此可判定∠acb=90°．斜边为10，两直角边和可求出，再求直角三角形abc的面积．
解答】解：∵ma=mb=mc=5，∠acb=90°
周长是24，ab=10
ac+bc=14，ac2+bc2=102，2acbc=（ac+bc）2﹣（ac2+bc2）=142﹣102=4×24
故选c．点评】解决本题的关键是根据所给条件判定三角形abc是直角三角形．
2．如图，矩形abcd中，ab=20，bc=10，若在ab、ac上各取一点n、m，使得bm+mn的值最小，这个最小值为（ ）
a．12 b．10 c．16 d．20
考点】轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有。
专题】**型．
分析】作b关于ac的对称点b′，连ab′，则n点关于ac的对称点n′在ab′上，这时，b到m到n的最小值等于b→m→n′的最小值，等于b到ab′的距离bh′，连b与ab′和dc的交点p，再由三角形的面积公式可求出s△abp的值，根据对称的性质可知∠pac=∠bac=∠pca，利用勾股定理可求出pa的值，再由s△abp=pabh′即可求解．
解答】解：如图，作b关于ac的对称点b′，连ab′，则n点关于ac的对称点n′在ab′上，这时，b到m到n的最小值等于b→m→n′的最小值，等于b到ab′的距离bh′，连b与ab′和dc的交点p，则s△abp=×20×10=100，由对称知识，∠pac=∠bac=∠pca，所以pa=pc，令pa=x，则pc=x，pd=20﹣x，在rt△adp中，pa2=pd2+ad2，所以x2=（20﹣x）2+102，所以x=12.5，因为s△abp=pabh′，所以bh′=．
点评】本题考查的是最短路线问题及轴对称的性质，作出b点关于直线ac对称的点b′是解答此题的关键．
3．如图，已知o是矩形abcd内一点，且oa=1，ob=3，oc=4，那么od的长为（ ）
a．2 b．2 c．2 d．3
考点】矩形的性质；勾股定理．菁优网版权所有。
专题】计算题．
分析】过o作ef⊥ad于e，交bc于f；过o作gh⊥dc于g，交ab于h，设cf=x，fb=y，ah=s，hb=t，则可得x2﹣y2=16﹣9，t2﹣s2=32﹣12=8，整理得od2=x2+s2=（y2+t2）﹣1=8，即可解题．
解答】解：如图，过o作ef⊥ad于e，交bc于f；过o作gh⊥dc于g，交ab于h
设cf=x，fb=y，ah=s，hb=t，所以og=x，dg=s
所以of2=ob2﹣bf2=oc2﹣cf2
即42﹣x2=32﹣y2
所以x2﹣y2=16﹣9=7（1）
同理有oh2=12﹣s2=32﹣t2
所以t2﹣s2=32﹣12=8（2）
又因为oh2+hb2=ob2即y2+t2=9
1）﹣（2）得（x2+s2）﹣（y2+t2）=﹣1
所以od2=x2+s2=（y2+t2）﹣1=9﹣1=8
所以od=2
故选 b．点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算od的长度是解题的关键．
4．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点a处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
a．13cm b．2cm c．cm d．2cm
考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有。
分析】将容器侧面展开，建立a关于ef的对称点a′，根据两点之间线段最短可知a′b的长度即为所求．
解答】解：如图：
高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点a处，a′d=5cm，bd=12﹣3+ae=12cm，将容器侧面展开，作a关于ef的对称点a′，连接a′b，则a′b即为最短距离，a′b=
13（cm）．
故选：a．点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
二．填空题（共5小题）
5．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为 6，8，10或5，12，13 ．
考点】勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有。
专题】计算题；分类讨论．
分析】设三边长为a、b、c，其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值．
解答】解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有。
2）代入（1）得。
即。因为ab≠0所以ab﹣4a﹣4b+8=0
所以（a，b为正整数）
所以b﹣4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；
a=12，8，6，5；
c=13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13
故答案为 6，8，10或5，12，13．
点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论a、b的值是解题的关键．
6．如图，设∠mon=20°，a为om上一点，oa=4，d为on上一点，od=8，c为am上任一点，b是od上任意一点，那么折线abcd的长最小为 12 ．
考点】轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有。
专题】作图题；证明题．
八年级下勾股定理
勾股定理。一。复习回顾。在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途 本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用 其知识结构如下 1.勾股定理 1 直角三角形两直角边的 和等于 的平方 就是说，对于任意的直角三角形，...
八年级数学培优 勾股定理
考点 方法 破译。1 会用勾股定理解决简单问题。2 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3 勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解 对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证。经典 考题 赏析。例1 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形...
八年级下勾股定理培优试题集锦 含解析
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题。二 填空题 共5小题 11 已知rt abc中，c 90 a b 14cm，c 10cm，则rt abc的面积等于 12 观察下列勾股数。第一组 3 2 1 1，4 2 1 1 1 5 2 1 1 1 1 第二组 5 2 2 1，12 2 2 2 1...