初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题。
二．填空题（共5小题）
11．已知rt△abc中，∠c=90°，a+b=14cm，c=10cm，则rt△abc的面积等于 ．
12．观察下列勾股数。
第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1
第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1
第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1
观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 （只填数，不填等式）
13．观察下列一组数：
列举，猜想：32=4+5；
列举，猜想：52=12+13；
列举，猜想：72=24+25；
列举：13、b、c，猜想：132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．
三．解答题（共27小题）
14．a，b，c为三角形abc的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．
15．如图：四边形abcd中，ab=cb=，cd=，da=1，且ab⊥cb于b．
试求：（1）∠bad的度数；
2）四边形abcd的面积．
16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．
17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地a点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达b点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地c点，求出a、c两点之间的距离．
18．如图，在气象站台a的正西方向320km的b处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的bd方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．
1）台风中心在移动过程中，与气象台a的最短距离是多少？
2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？
19．如图，已知△abc中，∠b=90°，ab=8cm，bc=6cm，p、q分别为ab、bc边上的动点，点p从点a开始沿ab方向运动，且速度为每秒1cm，点q从点b开始b→c方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．
1）出发2秒后，求pq的长；
2）从出发几秒钟后，△pqb能形成等腰三角形？
3）在运动过程中，直线pq能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．
20．在△abc中，ab、bc、ac三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△abc（即△abc三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△abc的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
1）△abc的面积为： ．
2）若△def三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△def，并利用构图法求出它的面积为 ．
3）如图3，△abc中，ag⊥bc于点g，以a为直角顶点，分别以ab、ac为直角边，向△abc外作等腰rt△abe和等腰rt△acf，过点e、f作射线ga的垂线，垂足分别为p、q．试**ep与fq之间的数量关系，并证明你的结论．
4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形prba，rqdc，qpfe的面积分别为13mmm2，则六边形花坛abcdef的面积是 m2．
21．（1）在△abc中，ab、bc、ac三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形abc（即△abc三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△abc的高，而借用网格就能就算出它的面积．
请你将△abc的面积直接填写在横线上 ．
思维拓展：2）已知△abc三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．
我们把上述求△abc面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△abc，并求出它的面积．
类比创新：3）若△abc三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．
如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△abc，用网格计算这个三角形的面积．
22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．
问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，**s′+s″与s的关系（如图1）．
问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，**s′+s″与s的关系（如图2）．
问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，**s′+s″与s的关系（如图3）．
24．如图，在平面坐标系中，点a、点b分别在x轴、y轴的正半轴上，且oa=ob，另有两点c（a，b）和d（b，﹣a）（a、b均大于0）；
1）连接od、cd，求证：∠odc=45°；
2）连接co、cb、ca，若cb=1，c0=2，ca=3，求∠ocb的度数；
3）若a=b，**段oa上有一点e，且ae=3，ce=5，ac=7，求△oca的面积．
25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题。
小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？
26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．
2）已知，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：
从点a出发在图中画一条线段ab，使得ab=；
画出一个以（1）中的ab为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．
27．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：
bc=a+b，ad=
又∵在直角梯形abcd中，有bcad（填大小关系），即
28．观察、思考与验证。
1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；
2）如图2所示，∠b=∠d=90°，且b，c，d在同一直线上．试说明：∠ace=90°；
3）伽菲尔德（2024年任美国第20届**）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在2024年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点p处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从a处行驶到b处所用的时间为3秒，并测得∠apo=60°，∠bpo=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
参考数据：=1.41，=1.73）
30．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，oa⊥ob，oa=45海里，ob=15海里，钓鱼岛位于o点，我国海监船在点b处发现有一不明国籍的渔船，自a点出发沿着ao方向匀速驶向钓鱼岛所在地点o，我国海监船立即从b处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点c处截住了渔船．
1）请用直尺和圆规作出c处的位置；
2）求我国海监船行驶的航程bc的长．
31．在一次“构造勾股数”的**性学习中，老师给出了下表：
其中m、n为正整数，且m＞n．
1）观察**，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
2）**a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点p、q分别从点d、a同时出发向右移动，点p的运动速度为每秒1个单位，点q的运动速度为每秒0.5个单位，当点p运动到点c时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．
1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段pq．并求其长度；
2）当t为多少时．△pqb是以bp为底的等腰三角形．
2019八年级下勾股定理培优
一 选择题 共4小题 1 abc周长是24，m是ab的中点，mc ma 5，则 abc的面积是 a 12 b 16 c 24 d 30 2 如图，矩形abcd中，ab 20，bc 10，若在ab ac上各取一点n m，使得bm mn的值最小，这个最小值为 a 12 b 10 c 16 d 20 3 ...
八年级下勾股定理
勾股定理。一。复习回顾。在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途 本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用 其知识结构如下 1.勾股定理 1 直角三角形两直角边的 和等于 的平方 就是说，对于任意的直角三角形，...
八年级数学培优 勾股定理
考点 方法 破译。1 会用勾股定理解决简单问题。2 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3 勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解 对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证。经典 考题 赏析。例1 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形...