廉江市实验学校高补部2017届数学（理科）
寒假作业（一）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．
1）已知集合，，则（ ）
a） （b） （c） （d）
2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为（ ）
a） （b） （c） （d）
3）已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为（ ）
a）3 （b）4 （c）5d）6
4）设d为△abc所在平面内一点，且，则（ ）
a）（b）（c）（d）
5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，则（ ）a） （b）（c） （d）b与d是异面直线。
6）若命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
7）函数的大致图象是（ ）
abcd）8）已知且，函数满足，，则（ ）a） （b） （c）3 （d）2
9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）
a）1234 （b）2017 （c）2258 （d）722 图1
10）六个学习小组依次编号为，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（ ）
a） （b） （c） （d）
11）直线与圆交于a、b两点，o为坐标原点，若直线oa 、ob的倾斜角分别为、，则。
a） （b） （c） （d）
12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）
a）29 （b）25 （c）18d）16
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13）在的展开式中，常数项是。
14）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为，则分别以为实半轴长和。
虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为。
15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 .
16）已知正项数列的首项，且对一切的正整数，均有： ，则数图2
列的通项公式。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
在△abc中，、、分别为角、、所对的边，，且．
ⅰ)求角的大小；
ⅱ)求△abc外接圆的圆心到ac边的距离．
18）（本小题满分12分）
如图3，在四棱锥中，，ad∥bc，ab⊥ad，ao=ab=bc=1，po=，．
ⅰ)证明：平面poc⊥平面pad；
ⅱ）若ad=2，pa=pd，求cd与平面pab所成角的余弦值图3
19）（本小题满分12分）
某商场举行**活动，有两个摸奖箱，a箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，b箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次a箱内摸奖机会，消费额满300元有一次b箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
ⅰ）经统计，消费额x服从正态分布，某天有1000位顾客，请估计消费额x（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若，则，ⅱ）某三位顾客各有一次a箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；
ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次a箱内摸奖机会；方法二：一次b箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
20）(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知点a（-1, 0）、b（1, 0）、c（0, -1），n为y轴上的点，mn垂直于y轴，且点m满足（o为坐标原点），点m的轨迹为曲线t．(ⅰ求曲线t的方程；
ⅱ)设点p（p不在y轴上）是曲线t上任意一点，曲线t在点p处的切线l与直线。
交于点q，试**以pq为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．
21）（本小题满分12分）
设a >0，已知函数 (x>0)．
ⅰ)讨论函数的单调性；
ⅱ)试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程。
已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
ⅰ)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
ⅱ)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．
23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲。
设函数．ⅰ)若，求函数的值域；
ⅱ)若，求不等式的解集．
高补部2023年春节寒假作业（一）数学(理科)答案。
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：（17）解：（ⅰ由，结合余弦定理得：
2分3分。则，--5分7分。
ⅱ) 设△abc外接圆的半径为r，由正弦定理知。
9分故10分。
则△abc外接圆的圆心到ac边的距离。--12分。
18）解：（ⅰ在四边形oabc中，ao//bc，ao=bc，ab⊥ad，四边形oabc是正方形，得oc⊥ad2分。
在△poc中，∵，oc⊥po，--4分。
又，∴oc⊥平面pad，又平面poc，∴平面poc⊥平面pad6分。
ⅱ）解：由o是ad中点，pa=pd，得po⊥ad；
以o为原点，如图建立空间直角坐标系o-xyz7分。
得，得，设是平面pab的一个法向量，则，得，取z=1，得10分设cd与平面pab所成角为，则，，即cd与平面pab所成角的余弦值为． -12分。
19）解：（ⅰ依题意得，，得1分。
消费额x在区间（100，150]内的顾客有一次a箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--2分。
人数约为=477人3分。
其中中奖的人数约为477×0.6=286人4分。
ⅱ）三位顾客每人一次a箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服从二项分布，（k=0, 1, 2, 36分。
故的分布列为。
8分（ⅲ）a箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.59分。
b箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=3510分。
方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大12分。
20）解：（ⅰ设点，依题意知，，-2分。
由得，即，所求曲线t的方程为---4分。
ⅱ）解：设，由得。
则5分。直线l的方程为：
令得，即点q的坐标为---6分。
设是以pq为直径的圆上任意一点，则由，得以pq为直径的圆的方程为8分。
在①中，令得。
由②③联立解得或10分。
将代入①式，左边==右边，即以pq为直径的圆过点11分将代入①式，左边右边，以为直径的圆恒过点，该定点的坐标为12分。
21）解1分。
设，则，当时，，，即，在上单调递增3分。
当时，由得，4分。
可知，由的图象得：
在和上单调递增5分。
在上单调递减6分。
ⅱ）解：函数在上不存在两个零点7分。
假设函数有两个零点，由（ⅰ）知，因为，则，即，由知，所以，设，则9分。
由，得，设，得10分。
所以在递增，得，即，这与（＊）式矛盾11分。
所以上假设不成立，即函数没有两个零点12分。
22）解：（ⅰ直线l经过定点2分。
由得，得曲线的普通方程为，化简得；--5分。
ⅱ）若，得，的普通方程为6分。
则直线的极坐标方程为8分。
联立曲线：．
得，取，得，所以直线l与曲线的交点为．--10分。
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