高考复习中习题编制的策略与注意点。
浙江绍兴一中分校屠丰庆 312037
波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”．作为习题，它的主要作用是为了巩固基本知识，促使学生掌握基本技能，在解决数学问题的过程中提高应试能力．习题的编制期望学生通过自己“做数学”来真正领会知识的内涵，明确概念的外延、解题的步骤，通过归纳类比、拓展思考、反思和建构，做到举一反三，由此及类，由习题到模式，这是培养解题能力、抽象概括能力的重要手段．
不要策略的策略”是习题编制的基本点，学生做题如同学习“游泳”，听教练讲基本的要领是懂的，但要学会游泳还需要到水中去练习一番，得把游泳要领跟水中动作结合起来，呛几口水也是常事，只有经过反复的实践与独立地体验，才能获得在水中的自由．做题也是这样，需要学生自己下功夫反复的练习与反思．因此在策略之前必须指出：数学学习没有王者之路，最好的教师，最完美的课堂，没有一定作业量作保证，要提高考试成绩是非常困难的．但这不意味着让学生跳进题海，我们高三教师应该在作业选题中有所作为，讲究策略，精心选择或组编典型的习题，有目的、有计划地组织复习，从而减轻学生过重的课业负担，提高高三复习的有效性．
一、习题编制的策略。
策略之首：必须实行“拿来主义”的政策。
随着分省命题以来，我们的经典“题源”极速膨胀，可谓“题海无边”，这是一把双刃剑，既为我们提供广阔的习题空间，又使我们陷入“浩瀚题海”的苦恼．面对这么多的试题，我们如果不加选择，一咕脑儿地抛给学生，进行大运动量训练，那么肯定会做许多“无效”的劳动，值得我们反思和改进．如果选择的是错题等于对教学、对学生不负责，选择的是不恰当的习题等于误导学生，选择的是重复习题等于让学生跳进题海，浪费时间，因此从某种意义上习题选取的各个层次能体现教师教学的认真程度以及专业发展水平．
习题的选取要精益求精，在俗语“没有最好只有更好”的鞭策下不断完善习题的选取和教学，习题的选取要奉行“拿来主义”，在比较的过程中斟酌，在批判的过程中选择，所选择的习题应该是一类题目的代表，如果解决了这个问题，做到能用这一把“钥匙”开一类“锁”.必须指出“拿来主义”不是抄来主义，也不是搬来主义，教师要通过自己大量的“无效”劳动来换取学生学习的更有效，要淡化一些非本质的、细微末节的和过分地人为技巧的训练．另外，教师要充分发挥集体（备课组）的力量，运用现代信息技术和网络，多参阅《数学通报》、《数学教学参考》等杂志的高考频道，从而使每一个选编的习题能或夯实基础，或提升素质，或提高应试能力．
策略二：将专题进行到底。
高考不仅是知识的竞争，更是方法和技巧的较量，在高三复习的中后期，学生的知识结构已基本完善，这时考生会进入一个学习上的“瓶颈”，可以通过各种专题练习来达到复习的效果，从题型上可通过选择题、填空题、解答题再分三角、概率、函数（导数）、数列、解析几何、立体几何或压轴等专题，从能力上可通过限时答题能力、新情景新题型审题能力、学科交叉问题处理能力、理论联系实际能力等专题训练，从知识上可通过回归课本、考前状态保持等专题训练．
例如：新情景新题型审题能力的专题训练。
新定义型：定义一种运算：其中表示不超过y的最大整数，那么方程的解等于。
类比归纳型：观察下列等式根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数的等式，这个等式可以表示为 ．
理解使用型：若a，b是正常数，则，当且仅当时取等号，利用以上结论，可以得到函数的最小值为 ，取最小值时x的值为 ．
除此还有图表符号型、时代信息型、开放探索型、研究学习型、情景新颖型等．
策略三：将错误改正到底。
高中数学中有许多题目，求解思路不难，但每一章节中都有一些学生易错易混淆的题目，或是特殊情形没注意，或是条件不够但乱用定理和公式、或是没有注意问题的存在性等等。教师要不厌其烦地提醒学生，并安排各种习题将错误改正到底，在错误→改正→错误→改正的螺旋过程中理解错误的本质，挖掘错误的根源，从中获取教训，优化自身的认知结构，确保考试中不犯或少犯类同错误．
例如：集合中空集的特殊情况；函数中的定义域和最高次系数等于零的问题；利用不等式求解最值的要求：一正二定三能等没注意；数列中的特殊情形；三角函数中经常遗漏问题；平面向量中的问题；解析几何中的验证问题；立体几何中想当然证明问题；排列组合中分类遗漏和重复问题；几何概率分析中随意等价等等．
策略四：将题目比较到底。
习题的选编要前后进行比较，不宜孤立出现，否则习题会变的简单重复，学生作业也变的平铺直叙，但一旦到了高考，由于没有题目背景和相应的知识框架，往往会在相近的知识点和方法之间混淆，从而不能让学生在能力上再提高一个档次，如果我们以参考习题中内涵丰富的题目为载体，通过“咬文嚼字”的磨叨工进行相互比较，可以展示知识之间的内在联系和细微差别，挖掘出许多结论，从而在方法上做到举一反三，加深对数学本质的认识，提高了数学的解题能力．
例1 已知数列中，a1=1，a n+1 ＝an +2，求an．
比较1：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝an + 2n，求an．
比较２：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝an + 3n，，求an．
比较３：已知数列中，a1=1，a n+1 + an ＝2n，求an．
比较４：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝an ·2，求an．
比较５：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝ an·3n，求an．
比较６：已知数列中，a1=1，a n+1·an＝3n，求an．
比较７：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝ 2an + 3，求an．
比较８：已知数列中，a1=1，a n+1 ＝2an + 3n，求an．
策略五：将题目变化到底
教师可以通过变式设计，例如改变设问、类比猜想，运用加强或弱化条件、引进参数等手段展开**，发挥习题的辐射作用，提高教学的有效性．变式一般有概念性变式和过程性变式，其中概念性变式是利用概念变式和非概念变式揭示数学概念的本质属性和非本质属性，使学生获得对概念的多角度理解，进而建立新概念与已有概念的本质联系；过程性变式是通过变式展示知识的发生、发展和形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，抓住问题的本质，加深对问题的理解．
例2 已知f (x)= x2-2ax + a (a∈r)，若f (x) =0在[-1，1]有两个不同的解，求a的取值范围．
二次方程根的讨论是函数的经典应用，也是难点，为了加深理解，我们作如下变式：
变式1 若在上有4个不同的解，求a的取值范围．
变式2 已知定点a（-1，-1）、b（1，1），若抛物线与线段ab有2个不同的交点，求a的取值范围．
通过换元，变式1可化为例2，换元是化归的常用手段；变式2以直线和抛物线的位置关系为背景，看似大相径庭，其实稍加转化，就可归结其核心就是例2．
例3 设集合．
1）设a的3个元素的子集ai的个数为n，求n的值；
2）设（1）中集合ai 的3个元素的和分别为，求的值．
本题是复习教材中的习题，学生对此生疏，我们作这样的变式：
变式1 将集合改为．
变式2 将集合改为．
通过“退”，足够的退，对变式1可用列举法，得到（1+2+3）+（1+2+4）+（1+3+4）+（2+3+4）＝3（1+2+3+4），剔除表面，得到本质关系式＝m× 4，从而得m＝,解释m的含义．从特殊到一般探得规律，进而用到变式2，做到尽可能的“进”，这是过程性变式的一种典范．
策略六：将问题进行到底。
很多习题题目背景很“厚”，但问题要求很“薄”，一次作业“表量”很大，但其实学生的思维量不大，更重要的是有时学生能够单独解决一个问题，但当问题联在一起时又会相互混淆，整理不出一个头绪．将问题进行到底，通过“有限个问”来获取“无限个思考”的数学机智，用集约化的问题将知识串联起来、方法比较开来，提出的问题要有层次性、启发性和学习方法上的指导意义．
例4 已知x，y满足条件，1．画出可行域，并求其面积；
2．求下列z的最值及相应最优解（1）；（2）；（3）；（4）；3．已知有无穷多个最优解，求实数a的值；
4．若圆在可行域内，求最小的r，……
一个题目几乎可以含盖所有线性规划内的知识点，并且在解决这个问题的过程中将方法加以区别，将知识加以宏伟贯通．
策略七：将经典题型做到底。
虽然任何最经典题型都不可能在高考中一模一样地出现两次，但经典题型中往往隐含了丰富的数学思想和方法，反映了命题的变化趋势，教材、过去的高考、09高考模拟样卷提供了很多规范和具有发展功能的典型习题，只要我们用“慧眼”去辨析、去比较、去选择，以不变应万变，陈题新做，对经典试题或纵向拓展延伸，或横向迁移组合，进行有效地整合和创新，其复习功效定能以一当十．
例5（2023年全国理，19）已知．设p：函数在r上单调递减．q：不等式的解集为r，如果p和q有且仅有一个正确，求的取值范围．
此题型已经成为了逻辑用语一章节中最典型的例习题，以此为模本编制了一大类题目，它不仅思想性强，而且本题利用命题真假为框架，几乎可以对所有的知识点进行考查，具有很强的综合性．
策略八：最后应将习题回归到课本之源。
应该说课本习题都是专家大量的验证、考究挑选出来的，都是围绕新课程标准设置的，具有较强的代表性和极高的研究价值，深入思考习题就会发现很多题目“源”来如此．因此一方面应认真对课本典型习题进行研磨，整合各章节例习题的内容，由彼及此，由此及类，在知识的交汇处设计习题串；另一方面将习题回归到课本，有意识地将所选编的习题与课本例习题相联系和比较，将选编习题扎根于“原生态土壤”，这对培养学生敏锐的观察、分析能力大有裨益，其教学效果必然会不同反响．
例6 （1）（课本习题）过抛物线焦点f的一条直线和此抛物线相交于两点a、b，经过点a和抛物线顶点o的直线交准线于点c，求证直线bc平行于抛物线的对称轴．
2）（01年全国理，19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bc∥x轴．证明直线ac经过原点o．
3）（06年重庆文，22）对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．（ⅰ试证：．
4）（06年全国ⅱ理，21）已知抛物线x2＝4y的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且＝λ（0）．过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为ｍ．（证明·为定值．
当我们把这几题聚集在一起，就可发现他们都与抛物线的焦点弦有关，从而自觉地去**焦点弦的性质（不变性），课本习题：过抛物线y2 =2 px的焦点的一条直线和它相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证y1y2 = p2．
假如平时我们能储存这些课本习题，那么可以快速激活我们的解题思路，看清命题者的意图．还有，细心思考（1）、（2）两题，可以概括成这样的命题来提升认识．
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