(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下命题中，不正确的个数为( )
|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
a．2 b．3 c．4 d．5
2．直三棱柱abc—a1b1c1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
a．a＋b－cb．a－b＋c
c．－a＋b＋cd．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
a．x＝6，y＝15b．x＝3，y＝
c．x＝3，y＝15d．x＝6，y＝
4．已知空间三点a(0,2,3)，b(－2,1,6)，c(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
a．(1,1,1)
b．(－1，－1，－1)
c．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
d．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知a(－1,0,1)，b(0,0,1)，c(2,2,2)，d(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
a．－ b. c. d．－
6．在正三棱柱abc—a1b1c1中，若ab＝bb1，则ab1与c1b所成角的大小为( )
a．60° b．90° c．105° d．75°
7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
a．cosb．cos θ＝
c．sind．sin θ＝
8．若三点a(1，－2,1)，b(4,2,3)，c(6，－1,4)，则△abc的形状是( )
a．不等边的锐角三角形b．直角三角形。
c．钝角三角形d．等边三角形。
9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
ab．α⊥c．α，相交但不垂直 d．以上均不正确。
10．若两点a(x,5－x,2x－1)，b(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
a．19bcd.
如图所示，在四面体p—abc中，pc⊥平面abc，ab＝bc＝ca＝pc，那么二面角b—ap—c的余弦值为( )
ab. cd.
如图所示，在直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，△aeb是等腰直角三角形，其中∠aeb＝90°，则点d到平面ace的距离为( )
ab. cd．2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b
14．如图所示，已知正四面体abcd中，ae＝ab，cf＝cd，则直线de和bf所成角的余弦值为___
15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为___
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，ab⊥bc，bc⊥cd，ab在平面β内，bc在l上，cd在平面α内，若ab＝bc＝cd＝1，则ad的长为___
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在直三棱柱abc—a1b1c1中，ab1⊥bc1，ca1⊥bc1.求证：ab1＝ca1.
18．(12分)已知四边形abcd的顶点分别是a(3，－1，2)，b(1，2，－1)，c(－1,1，－3)，d(3，－5,3)．
求证：四边形abcd是一个梯形．
19.(12分)
如图所示，四边形abcd，abef都是平行四边形且不共面，m、n分别是ac、bf的中点，判断与是否共线？
20．(12分)
如图所示，已知平行六面体abcd—a1b1c1d1的底面abcd是菱形，且∠c1cb＝∠c1cd＝∠bcd.
求证：c1c⊥bd.
21.(12分)
如图，在空间四边形oabc中，oa＝8，ab＝6，ac＝4，bc＝5，∠oac＝45°，∠oab＝60°，求oa与bc所成角的余弦值．
22．(12分)
如图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，e、f分别是棱bc，cc1上的点，cf＝ab＝2ce，ab∶ad∶aa1＝1∶2∶4.
1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；
2)证明af⊥平面a1ed；
3)求二面角a1—ed—f的正弦值．
寒假作业（4）答案。
1．c [只有命题④正确．]
d [如图b－a－c.]
3．d [∵a∥b，∴存在实数λ，使，∴.
4．c [设a＝(x，y，z)，∵2，－1,3)，(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，∴或。
a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．c [∵1,0,0)，＝2，－2,1)，cos〈，〉sin〈，〉
6．b [建立如图所示的空间直角坐标系，设bb1＝1，则a(0,0,1)，b1，c1(0，，0)，b.
＝，＝1＝0，即ab1与c1b所成角的大小为90°.]
7．d [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β90°或θ＝90°－βcos β＝sin θ＝cos β|
8．a [＝3,4,2)，＝5,1,3)，＝2，－3,1)，·0，得∠a为锐角；·>0，得∠c为锐角；·>0，得∠b为锐角，所以△abc是锐角三角形且。
9．a [∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β
10．c [＝1－x,2x－3，－3x＋3)，则||＝
故当x＝时，||取最小值．]
11．c [如图所示，作bd⊥ap于d，作ce⊥ap于e，设ab＝1，则易得ce＝，ep＝，pa＝pb＝，可以求得bd＝，ed＝.∵2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
·＝－cos〈，〉即二面角b—ap—c的余弦值为。]
12．b [
建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，－1,0)，e(1,0,0)，d(0，－1,2)，c(0,1,2)．
(0,0,2)，＝1,1,0)，＝0,2,2)，设平面ace的法向量n＝(x，y，z)，则即。
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点d到平面ace的距离。d＝＝＝
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，|a－2b|＝＝
解析因四面体abcd是正四面体，顶点a在底面bcd内的射影为△bcd的垂心，所以有bc⊥da，ab⊥cd.设正四面体的棱长为4，则·＝(
4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，bf＝de＝＝，所以异面直线de与bf的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝
15.或。解析设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，则cos〈n1，n2〉＝＝n1，n2〉＝.
因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或。
解析因为＝＋＋所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－3－2cos θ.
所以||＝即ad的长为。
17．证明以a为原点，ac为x轴，aa1为z轴建立空间直角坐标系．
设b(a，b,0)，c(c,0,0)，a1(0,0，d)，则b1(a，b，d)，c1(c,0，d)，＝a，b，d)，(c－a，－b，d)，＝c,0，d)，由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
ab1|2＝a2＋b2＋d2，|ca1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，ab1＝ca1.
18．证明因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(2,3，－3)，＝3，－5,3)－(1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，所以和共线，即ab∥cd.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，(1,1，－3)－(1,2，－1)＝(2，－1，－2)，因为≠≠，所以与不平行，所以四边形abcd为梯形．
19．解 ∵m、n分别是ac、bf的中点，四边形abcd、abef都是平行四边形，＝＋又∵＝＋
∥，即与共线．
20．证明设＝a，＝b，＝c，依题意，|a|＝|b|，又设，，中两两所成夹角为θ，于是＝－＝a－b，＝c·(a－b)＝c·a－c·b
|c||a|cos θ－c||b|cos θ＝0，所以c1c⊥bd.
21．解因为＝－，所以·＝·
|||cos〈，〉cos〈，〉
8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
所以cos〈，〉
即oa与bc所成角的余弦值为。
22．(1)解
如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点．设ab＝1，依题意得d(0,2,0)，f(1,2,1)，a1(0,0,4)，e.
易得＝，(0,2，－4)，于是cos〈，〉
所以异面直线ef与a1d所成角的余弦值为。
2)证明易知＝(1,2,1)，，于是·＝0，·＝0.
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