（总分 100分考试时间：100分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1、坛子里放有2个白球，3个黑球，从中进行不放回摸球，a1表示第一次摸得白球，a2表示第二次摸得白球，则a1与a2是（ ）
a）互斥事件b）独立事件
c）对立事件d）不独立事件。
2、有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车a不能停在第3轨道上，货车b不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法种数有（ ）
a）78b）72
c）120d）96
3、在空间，如果x、y、z表示直线或平面，命题“若x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，那么x、y、z所分别表示的元素正确的是（ ）
a）x、y、z都是直线b）x、y、z都是平面。
c）x、y为平面，z为直线 （d）x为平面，y、z为直线。
4、用这五个数字，可组成比20000大，并且百位数字不是3的无重复数字的五位数，共有（ ）
a）96个b）78个
c）72个d）64个。
5、二面角—l—的平面角为120，a，b∈l，ac，bd，ac⊥l，bd⊥l，若ab＝ac＝bd＝1，则cd等于（ ）
abc）2d）
6、七个人排成一排，甲、乙必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）
a）960种b）840种
c）720种d）600种。
7、平面m内有，oa是平面m的斜线段，且，oa与的两边所成的角都是45，那么点a到平面m的距离是（ ）
a）9b）6
c）18d）2
8、地球半径为r，在北纬30圆上有两点a、b，a点的经度为东经120，b点的经度为西经60，则a、b两点的球面距离为（ ）
a） （b） （c） （d）
9、矩形abef和矩形efcd不共面，ef＝4，ad＝5，则平行直线ab与cd之间的距离（ ）
a）5b）4
c）3d）12
本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为（ ）
a）35 （b） 50 （c）70 （d）100
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11、已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，则a1＋a3＋a5＋…＋a11＋a13＝（
12、已知的展开式中，的系数为，则常数a的值为（ ）
13、三棱锥p－abc的四个顶点在同一球面上，若pa⊥底面abc，底面abc是直角三角形，pa＝2，ac＝bc＝1，则此球的表面积为（ ）
14、甲乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜．假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是（ ）
三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分）
15、设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数字）.
1）取得白球3次的概率；
2）至少有1次取得白球的概率。
16、在正方体ac1中，e、f分别为bb1、cd的中点。
1）求证：ad⊥d1f；
2）求ae与d1f所成角的大小；
3）求证：平面aed⊥平面a1fd1.
17、某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是。问：
ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
18、如图，四棱锥p－abcd的底面是正方形，pa⊥底面abcd，pa＝ad＝2，点m、n分别在棱pd、pc上，且平面amn.
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求直线cd与平面amn.所成角的大小。
19、如图，斜三棱柱abc—a1b1c1，已知侧面bb1c1c是边长为2的菱形，且∠cbb1＝60，侧面bb1c1c与底面abc垂直，∠bca＝90，二面角a—bb1—c为30.
1）求证：ac⊥平面bb1c1c；
2）求ab1与平面bb1c1c所成角的大小；
3）在平面aa1b1b内找一点p，使三棱锥p—bb1c为三棱锥，并求它的体积。
20、规定，其中x∈r，m是正整数，且＝1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广。
1）求的值；
2）组合数的两个性质：①；是否都能推广到（x∈r，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由。
3）已知组合数是正整数，证明：当x∈z，m是正整数时， z.
参***。一、选择题。
1、【解】a2的发生受到a1发生的影响（第二次摸到白球的概率取决于第一次摸的什么颜色的球），故不独立，选d
2、【解】，选a
3、【解】选d
4、【解】3在首位，；2或4或5在首位，，故选b
5、【解法一】如图，将bd平移至ae，在rt△ced中，
解法二】，注意，选c.
6、【解】将甲乙捆在一起，并与丙插入另外四人之间，故有种排法，选a
7、【解】如图，由cos45＝cos∠aod cos30，所以cos∠aod＝，od＝，ad＝6，选b.
8、【解】如图，∠obo1＝∠oao1＝30，∠ao1b＝180，所以∠aob＝120＝。故选d.
9、【解】bd即为ab与cd之间的距离，显然bd＝3，选c.
10、【解】先分组，再分配，分组可以3，3分或4，2分，故，选b
二、填空题。
解】在已知等式中分别取x＝1和－1得，a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1①，a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27②，1 －②得，2(a1＋a3＋a5＋…＋a11＋a13)＝－26，2 所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＋a13＝－13.
12、【解】,，r＝8，所以，.
13、【解】pb为球直径，2r＝pb＝，.
14、【解】根据题意，甲方获胜时，双方共有9个人被淘汰，每淘汰1人须比赛一场，而甲方必须获胜五场且最后一场必胜，其它四个胜场是随机的，故所求概率为。下图就是一例：
三、解答题。
15、【解】记“取球一次得白球”为事件a，“取球一次得黑球”为事件b，则
因此，取得白球3次的概率为0.31
因此，至少有一次取得白球的概率为0.97
16、【解】（本题宜于用坐标法）建立坐标系d－acd1，设长方体的棱长为2，则，，，
1）∵，故ad⊥d1f.
2），故，即ae与d1f所成的角为90.
3）由（1）（2）知ad⊥d1f，且ae⊥d1f.，∴d1f⊥平面aed
又d1f 平面a1fd1，∴ 平面aed⊥平面a1fd1.
17、【解】（ⅰ记第一次出现红灯，则接着又出现红灯为事件a，则；记第一次出现绿灯，接着出现红灯为事件b，则。
显然，事件a与b相互独立，因此，第二次出现红灯的概率为。
ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
当出现绿、绿、红时的概率为；
当出现绿、红、绿时的概率为；
当出现红、绿、绿时的概率为。
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为。
18、（ⅰ证明：∵abcd是正方形， ∴cd⊥ad
pa⊥底面abcd，cd底面abcd ∴ pa⊥cd
∴ cd⊥平面pad
am平面pad， ∴cd⊥am
pc⊥平面amn， am底面amn， ∴pc⊥am.
又，∴ am⊥平面pcd
pd平面pcd，∴ am⊥平面pd
ⅱ）『解法一』 ∵am⊥平面pcd （已证）
故为二面角的平面角。
平面，∴ 在rt△pcd中，
∵，∴m为pd的中点，.
由∽，得，，即。
即二面角的大小为。
ⅲ）法1，延长nm，cd交于点e
平面，为ce在平面内的射影。
为cd（即ce）与平面amn所成的角。
在中， ， cd与平面所成的角的大小为。
法2，由已知为平面amn的法向量，因此，cd平面amn所成的角等于cd与pc所成角的余角。
故cd平面amn所成的角为。
19、（1）【证明】∵ 平面abc⊥平面bb1c1c且它们交于bc，ac⊥bc，∴ ac⊥平面bb1c1c.
2）【解】∵ ac⊥平面bb1c1c，∴ ab1c是ab1与平面bb1c1c所成的角。
△bcb1是正三角形，取bb1的中点m，连结cm，则cm⊥bb1，连结am，则am⊥bb1，∠amc是二面角a—bb1—c的平面角。
在rt△acm中ac＝1，∴ tan∠ab1c=.
ab1与平面bb1c1c所成的角为arctan.
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