高二数学竞赛班二试讲义。
第4讲同余与剩余类。
班级姓名。一、知识点金。
1．同余。两个整数除以正整数，若余数相同，则称与关于模同余，记作，这叫做同余式。
2．性质。以下性质均在整数范围内讨论，模为正整数。
1）若，则当时，；
则当时，。2）若，，且，则。
3）费尔马小定理：为素数，对任意正整数，都有。
费尔马小定理的推论：设为素数，为正整数，且，。
证明：由于模的余数各不相同，否则，若有，其中，则，而不整除，所以，这是不可能的，因此模的余数必然取遍这个数，仅可能顺序不同。
故。又为素数，则，所以由性质（1）得。
3．剩余类。
设，把全体整数按对模的余数进行分类，余数为的所有整数归为一类，记为，称为模的一个剩余类。
显然，是一个以为公差的无穷等差数集。它有如下性质：
1），且；（2）对任意，有唯一的，使得。
3）对任意， 。
4．完全剩余系
设是模的全部剩余类，从每个任取一个数，这个数组成的一个数组称为模的一个完全剩余系，简称完系。
称为模的最小非负完系。
二、例题分析。
例1．（1）求证：是正奇数时，能被整除。
2）是自然数，它不能被整除，求证：与中有且只有一个数被整除。
例2．；是的两种不同排列。
求证：中至少有两个被除所得的余数相同。
例3．设三角形的三边长分别是整数，且。已知，其中，而表示不超过的最大整数，求这种三角形周长的最小值。
三、同步检测。
1．计算个的乘积，则其最后三位数是（ ）
a． b． c． d．
2．被除的余数是。
3．求证：为任意整数。
4．求证：
5．两个数与的末三位数字完全相同，试求出正整数，使得取得最小值。
8．偶数个人围着一张圆桌讨论，休息后，他们依不同次序重新围着圆桌坐下。求证：至少有两个人，他们之间的人数在休息前与休息后是相同的。
第4讲同余与剩余类答案。
二、例题分析。
例1．（1）当是自然数时，当是正奇数时，由于，所以，类似，所以。
所以，因为，两两互素，故。
2）由是素数，不能被整除，则。
由费尔马小定理，得，即，则，故或。
但是，不能被整除，所以与中有且只有一个数被整除。
例2．反证法：假设被11除的余数两两不同，则这些余数等于0,1,2，…，10这11个值，为方便起见，不失一般性，可设被11除的余数为0，令，我们用两种方法计算被11除的余数。
一方面，这个余数等于被11除的余数，
另一方面，数的任一因子都不能被11整除，数的因子中要两次遇到1～10中每个数，也就是。矛盾！
故中至少有两个被除所得的余数相同。
例3．由题意，于是，即 ① 且②
因为，由①可知，故，所以有。
注意到，所以，同理，可由②推出，故。
下面求满足的正整数。
因为，即。则。
所以，代入上式得，所以，所以，所以。
故，为正整数， 同理可证，为正整数，所以三角形的三边分别为。
由，得，则。
当时三角形周长最小，其值为3003
三、同步检测。
2．a 提示：，显然，，设，则，，所以。
则，所以最后三位数是。
3． 提示：因为是素数，且，所以，5．令，则。
都是的因式。于是由费尔马小定理可知，又两两互素，且，所以。
6．的质因数分解式为，记。
因为中所含的幂指数是。
所以。又因为中所含的幂指数是。
所以。下面证明。先考虑证明当时，。
不妨设，则由是素数得，因而，所以，且，所以模的余数两两不同，且取遍，从而推得，即。
又两两互素，故，即。
7．，而，故可取。
由，知。故有，则，所以，因此。
又，则，即，所以或（不可能）
所以，从而，由二项式定理知，
由此的最小值为5，于是，又，所以，
8．用反证法证明。
将每位的号码依顺时针记为，每一个人对应一个二元有序整数组。其中为他休息前后的座号，显然，对于全体人员而言，与均跑遍完全剩余系，如果两个人休息前后人数均不相同，则，即。
因此，对于全体人员而言，也跑遍完全剩余系，因此的和。
而任一完全完全剩余系的和矛盾，得证。
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