---参数方程与曲线系。
班级学号姓名。
一、知识点。
1．几种常见的参数方程的形式如下：
1)直线的参数方程。
2)圆的参数方程
3)椭圆参数方程
4)双曲线参数方程。
5)抛物线的参数方程为。
参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用．
2．常用的直线系方程：
1)过定点(x0，y0)的直线系为：
2)与直线ax＋by＋c＝0平行的直线系为：
(3)与直线ax＋by＋c＝0垂直的直线系为：
4)当直线l1与l2的一般式分别为f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0时，曲线系。
1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数。
当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；
当l1∥l2时，表示与l1平行的一组平行直线．
5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：
6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为：
3．曲线系与圆系：
1)方程f1(x，y)＋f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)＝0与f2(x，y)＝0的交点．(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)．
当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果．
2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径．
对于不同圆心的两个圆。
ci＝x2＋y2＋dix＋eiy＋fi＝0(i＝1，2)，则 c1＋λc2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系．
当λ≠－1时，表示圆；
当λ＝－1时，退化为一条直线(d1－d2)x＋(e1－e2)y＋(f1－f2)＝0，此直线叫两圆的根轴．
对于已知圆c1及圆上一点（m，n），则。
c1＋λ[x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数)
表示与c1相切于点（m，n）的圆系．
4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：
ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0(a2＋b2＋c2≠0)．
但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线．
给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；
给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的．
若有两个二次曲线——c1：f1(x，y)＝0；c2：f2(x，y)＝0，且c1与c2交于不共线4点．则λf1(x，y)＋μf2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线．
5．用直线方程构成二次曲线系：
如果两条直线li：li(x，y)＝aix＋biy＋ci＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：f(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λf＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线．
若有不共线4点pi(i＝1，2，3，4)，记直线pipi＋1(p5＝p1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系．
若有不共线3点pi(i＝1，2，3)，记直线pipi＋1(p4＝p1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l2＋μl2·l3＋ηl3·l1＝0包括了所有过此3点的二次曲线系．
与两条直线li(x，y)＝aix＋biy＋ci＝0(i＝1，2)交于两点m1、m2的二次曲线系为λl1·l2＋μl32＝0．(其中l3为经过m1、m2的直线方程)．
6．部分常用的二次曲线系：
1)共焦二次曲线系：＋＝1；
2)共顶点二次曲线系：＋＝1；
3)共离心率二次曲线系：＋＝0)；
4)共渐近线的双曲线系：－＝
7．极线方程：从二次曲线外一点引二次曲线的切线，过两个切点的直线．
利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径r，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的．常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略．通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程，求图形的性质等等．
二、应用。例1．椭圆＋＝1有两点p、q．o是原点，若op、oq斜率之积为－．
求证：|op|2＋|oq|2为定值．
例2．抛物线y2＝2px(p＞0)的内接δaob的垂心为抛物线的焦点f，o为原点，求点a、b的坐标．
例3．斜率为的动直线l和两抛物线y＝x2，y＝2x2－3x＋3交于四个不同的点，设这四个点顺次为a、b、c、d(如图)． 求证：|ab|与|cd|之差为定值．
例4．设直线ax＋by＋c＝0与抛物线y2＝4px相交于a、b两点，f是抛物线的焦点，直线af、bf交抛物线(异于a、b两点)于c、d两点(异于a、b两点)．求直线cd的方程．
例5．给定曲线族2(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)y＝0，θ为参数，求该曲线在直线y＝2x上所截得的弦长的最大值．
例6．自点p1向椭圆引两条切线，切点为q1、r1，又自点p2向这椭圆引两条切线，切点为q2、r2．证明：p1、q1、r1、p2、q2、r2六点在一条二次曲线上．
例7．已知椭圆e：＋＝1(a＞b＞0)，动圆γ：x2＋y2＝r2，其中b＜r＜a，若a是椭圆上的点，b是动圆γ上的点，且使直线ab与椭圆和动圆γ均相切，求a、b两点距离|ab|的最大值．
三、练习。1．设p是抛物线y2＝2x上的点，q是圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|pq|的最小值是。
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x＋y＝0和x－y＝0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．
3．当s和t取遍所有实数时，则(s＋5－3|cost|)2＋(s－2|sint|)2所能达到的最小值为。
4．设ab、cd是椭圆＋＝1的两条弦，若它们的倾斜角互补，求证：a、b、c、d四点共圆．
5．已知二次曲线c：ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0与两条直线l1x＋m1y＋n1＝0，l2x＋m2y＋n2＝0有4个不同的交点．
求证：ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＋λ(l1x＋m1y＋n1)(l2x＋m2y＋n2)＝0 （*
是过四个交点的曲线系．
6．过不在圆锥圆锥上的一定点一定点p引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦ab与cd．
求证：＋是定值．
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