自然数与数学归纳法。
一、新课讲授：
天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的，不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分，因此推理所得的结论不一定正确（顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发现三种并非全黑的乌鸦，在日本也发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦），但是它具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用，在数学上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论的。
比如：由等差数列前几项满足的规律：，…归纳出了它的通项公式的。
等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，又因为正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？
问题：相信同学们对放鞭炮都很熟悉，下面请思考：点燃一盘鞭炮后，满足什么条件，一盘鞭炮可以全部响？
答：请类比鞭炮全响的原理，**出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。
数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，总结用数学归纳法证题的步骤：
1） 证明当取第一个值（例如或2等）时结论正确；
2） 假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确。
二、知识、技能、方法。
1.1 自然数的基数理论。
十九世纪中叶，康托提出自然数的基数理论。这种理论的实际背景是如何度量一类物体的个数。
考察集合x所含元素多少，可以选定另一个集合a，视x与a的元素间能否一对一搭配起来。如果存在这样的一一对应关系，就说x等价于a（记作xa），也说x与a具有同一个基数。
基数理论反映了自然数在数量上的意义，但没有很好的揭露自然数在顺序上的意义。
1.2 自然数的序数理论。
2024年，皮亚诺提出自然数的公理，建立了自然数的序数理论。
详见金版奥赛教程综合分册p62）
定理1（离散性）任意两个相邻的自然数与之间不存在自然数，使。
定理2（阿基米德性质）对任意，必有，使。
定理3（自然数的良序性，即最小数原理）的任意一个非空子集中必有最小数。
1.3 数学归纳法。
第一数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，如果（1）当时，成立（奠基）；
2）假设当时成立，可以推出成立（归纳）；
则对一切大于或等于的自然数都成立。
第二数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，若（1）当时，成立（奠基）；
2）假设当时成立，可以推出成立（归纳）；
则对一切大于或等于的自然数都成立。
练习：已知是定义在上，又在上取值的函数，并且（1）；
2）对任何，有；
3）当时，，求证在上恒成立。
跳跃数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，若（1）成立。
2）假设成立，可以推出成立（或假设成立，推出成立），则对一切大于或等于1的自然数都成立。
练习：设，证明：对于一切n, 都有。
反向数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，如果（1）对无限多个正整数成立；
2）假设当时成立，则当时命题也成立；
则对一切大于或等于1的自然数都成立。
逆向数学归纳法可形象称为“留空回填”,其中“有无穷多个自然数使p(n)真”常取p(2k),p(2k),p(2k-1)．
二）例题分析。
例1、平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点。
求证：这n个圆把平面分成个部分。
例2、已知△abc的三边长都是有理数，1）求证cosa是有理数； （2）求证：对任意正整数n，cosna是有理数。
例3、对于任意自然数n，求证方程都有正整数解。
例4、已知对任何自然数满足。
求证：.例5、已知，且，求证：.
直线与平面。
一、知识要点。
1、直线与平面的位置关系及转化。
2、直线、平面之间的平行与垂直的证明方法。
运用定义证明（有时要用反证法运用平行关系证明；
运用垂直关系证明建立空间直角坐标系，运用空间向量证明。
二、例题分析。
题组1】1．已知一直线和直线外不共线的三点，且其中只有两个点所连直线与已知直线在同一平面内，那么这条直线和直线外三点可确定平面的个数是。
2．设是所在平面外一点，点分别**段上，且直线与相交于点，则下列说法正确的是。
点一定在直线上点一定在直线上；
点可能在直线上，也可能在直线上；
点既不在直线上，也不在直线上。
3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是___
4．下列两个关于异面直线的命题，真命题的个数是___
若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，那么至多与中的一条相交；
不存在这样的无穷条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
5．已知空间不共面的四个点，则与这四个点距离相等的平面的个数为。
6．已知是两两垂直的异面直线，是的公垂线，那么与的位置关系是___
7．若直线与平面相交于点，点，点，且∥，则三点的位置关系是___
8．从正方体的12条棱和各面的12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为___
9．过空间一点作不在同一个平面内的三条射线，证明：的平分线与的邻补角的平分线在同一平面内。
10．设是异面直线，点，，问：过点是否可作直线与都相交？如果可作，能作多少条？如果不可作，请说明理由。
题组2】1.已知是两条相交直线，其中∥平面，则与平面的位置关系是___
题组3】整数的简单性质（一）
一）知识、技能、方法。
一、整数的离散性。
任何两个整数之间的距离至少为1，因此有不等式。
二、整数的奇偶性。
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数。因此，任一偶数可表示为2m（m∈z）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m－1的形式。 奇、偶数具有如下性质：
1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数。
3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m或8m+4的形式（m∈z）.
4）任何一个正整数n，都可以写成的形式，其中m为非负整数，l为奇数。
三、整数的整除性。
1．定义：设a，b是整数，且b≠０，若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a或a能被b整除，记作|，并称b是a的一个约数（因子），称a是b的倍数。若不存在上述c，则称b不能整除a，记为|.
显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０.
2．性质：① 若c|b，b|a，则c|a. ②若b|a，则bc|ac.
若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb. ④若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c.
若p为质数，p | ab，则p | a或p | b，特别地，若p | an，，则p | a.
若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c.
带余除法：设b＞0，对于任意整数a，总可以找到一对惟一确定的q，r满足a=bq+r，0≤r＜b.
(a－b)|(an－bn)(n∈n)，(a＋b)|(an＋bn)(n为正奇数) .
如果在等式中除开某一项外，其余各项都是c的倍数，则这一项也是c的倍数。
n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；任意n个连续整数之积一定是n！的倍数。
3．整除的判别法：设整数n＝， 2|2|n，5| 5|n； ②3|＋＋3|n，9|＋＋9|n；
4|4|n，25|25|n； ④8|8|n，125|125|n；
7||－7|n， 11||－11|n，11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)] 11|n；
13||－13|n.
四、完全平方数及其性质。
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；
3）奇数平方的十位数字是偶数；
4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；
6）平方数的约数的个数为奇数；
7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；
8）奇素数能表示成两个正整数的平方和的充要条件是；
9）设正整数，其中不再含平方因数，能表示成两个整数的平方的充要条件是没有形如的质因数；
10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和。
五、整数的尾数及其性质。
整数a的个位数也称为整数a的尾数，并记为，也称为尾数函数。
5）若，则6）；
二）例题分析。
例1、求，使它们满足不等式。
例2、设，且，求证。
例3、能否将分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？
例4、已知为各位数码全是9的31位数，为各位数码全是9的1984位数，求证。
例5、设都是正奇数，，求证。
例6、对于任意整数，证明。
例7、（1）若个整数，其和为0，其积为，证明：是4的倍数；
2）若是4的倍数，证明：可以找到个整数，使其和为0，其积为。
例8、已知为正整数，证明：.
例9、已知都是正整数，若，证明：.
例10、设是正整数，是不小于2的整数。试证：可表示成个相继奇数的和。
例11、求所有这样的自然数，使得是一个自然数的平方。
例12、设正整数不等于2，5，13，证明在集合｛2，5，13，｝中可以找到两个元素，使得－1不是完全平方数。
练习：1、证明：不存在正整数，使都是完全平方数。
2、若，证明：且。
3、已知为奇数，若为的一个排列，证明：为偶数。
4、求满足的正整数。
5、设为小于100的正整数，且，求满足条件的。
6、已知为正奇数，求证：.
7、证明：能被1001整除。
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