高二数学竞赛讲义

轨迹。一、知识点。

求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．其中检验就是指检验点轨迹的纯粹性和完备性．常用的求轨迹方程的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等．

二、应用。例1．半径为1的圆c过原点o，q为圆c与x轴的另一个交点，oqrp为平行四边形，其中rp为圆c的切线，p为切点，且点p在x轴上方，当圆c绕原点o旋转时，求r点的轨迹．

例2．已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点p(1，2)．

1)求此双曲线右焦点f的轨迹；

2)过p与f的弦与右支交于q点，求q点的轨迹方程．

例3．已知椭圆＋＝1，直线l：＋＝1．p是l上一点，射线op交椭圆于点r，又点q在op上且满足|oq|·|op|＝|or|2．当点p在l上移动时，求点q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

例4．求椭圆的所有互相垂直的两条切线交点的轨迹．

例5．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点o的两不同动点a、b满足ao⊥bo．

1)求△aob的重心g（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

2)△aob的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

例6．一张纸上画有半径为r的圆o和圆内一定点a，oa=a．折叠纸片，使圆周上某一点a'刚好和a点重合，这样的每一种折法都留下一条直线折痕，当a'取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

例7．过抛物线y＝x2上的一点a(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于d，交y轴于点b，点c在抛物线上，点e**段ac上，满足＝λ1，点f**段bc上，满足＝λ2，且λ1＋λ2＝1，线段cd与ef交于点p，当点c在抛物线上移动时，求点p的轨迹方程．

例8．设γ为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，a(x，y)为γ上一点，b、c、d分别为a关于y轴、原点、x轴的对称点，e为γ上一点，使ae⊥ac，ce与bd的交点为p．

1)求出p的坐标(用a的坐标表示)；

2)当a沿γ运动时，p的轨迹是什么？与γ有何关系？

三、练习。1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为。

2．已知a(－7，0)，b(7，0)，c(2，－12)三点，若椭圆的一个焦点为c，且椭圆经过a、b两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为。

3．已知圆方程x2＋y2－2x－y＋m＋1＝0(m为正参数)，则圆心的轨迹为。

4．以a为圆心，以2cos(＜＜为半径的圆外有一点b，已知|ab|＝2sin，设过点b且与⊙a外切于点t的圆的圆心为m．

(1)当取某值时，说明点m的轨迹p是什么曲线？

2)点m是轨迹p上的一个动点，点n是⊙a上的动点，把|mn|的最小值记为f()，求f()的取值范围(不要证明)；

3)若将题设条件中的的范围改为(0＜＜)点b的位置改为在⊙a内，其他条件不变，点m的轨迹记为p，试提出一个和⑵具有相同结构的有意义的问题(不要求解答)．

5．设0＜a＜b，过两定点a(a，0)和b(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2＝x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点p的轨迹．

6．已知平面上两个同心圆的半径分别为r和r(r＞r)．设p是小圆周上的一个定点，b是大圆周上的动点，直线bp与大圆相交于另一点c，通过点p且与bp垂直的直线l与小圆周相交于另一点a(如l与小圆周相切于p，则a＝p)．

1）求表达式bc2＋ca2＋ab2所取值的集合；

2）求线段ab的中点的轨迹．