初中数学竞赛专题选讲(初三。23)
选择题(二)
一、内容提要。
1. 在第26讲《选择题（一）》中，介绍了“有唯一正确答案”的选择题的解法，内容着重于代数方面。本讲则将侧重于几何。
几何的选择题大都是判定图形的形状、位置、大小，计算长度、面积、体积以及判定命题的真假等。
2. 解题方法与代数一样，可用直接选择法或逐步淘汰法。
几何的特点是要更多地借助图形，并运用定义、公理、定理、推论等概念进行辨析、推理、演算；利用准确的图形(包括按比例尺放缩)或特殊图形判断；也可以先猜测结论而后验证。
淘汰法就是要举出反例，逐一否定选择项；要注意图形之间的从属关系和并列，互斥关系以便全面分析，正确解答。
二、例题。一。 直接法。
例1.已知：如下图四边形abcd的边长ab=1，bc=2，cd=3，da=4，若把四边形的两条边的夹角变大为180，其它的角的大小随着变化，边的长度不改变。
那么：四边形可变为( )
(a) △abc. (b) △abd. (c) △acd. (d) △bcd.
解：根据“三角形任意两边和大于第三边”，只有1+2<3+4能成立，即把ab，bc变成ac，组成△acd. 故选( c).
例1例2)例2. 已知：如上图过△abc内一点p作de∥ab，fg∥ac，mn∥bc.
那么：的值是( )
a). b)2. (c). d).
解：∵选择项是肯定的唯一正确的答案，所以可用特殊三角形(如等边三角形)，并把点p放在特殊的位置(正三角形的中心).
这样易得， 余同。×3＝2.
故应选(b).
注意：如果选择支有“以上都不对”或“其值随图形的变化而变化”的选项，则一般不可以用特殊图形。
例3. 已知：如下图等边△abc的高和⊙o的半径相等，⊙o在边ab上滚动，切点为t，且⊙o和bc，ca交于m，n.
那么： 弧mtn的度数 (
a)在0到30变化 . b)在30到60变化。 (c)在60到90变化。 (d)保持60不变。
解：本题只要依题意准确画图，把弧mtn所对的弦mn度量，与△abc的高比较(用两脚规)，就会发现长度（与半径相等）不变， 故选(d).
例3例4)例4.已知：如上图，圆内接四边形abcd的边ab，bc，cd，da的长分别为25，39，52，60，则圆的直径长为( )
a)62. (b)63. （c）65. （d）66.
2023年全国初中数学联赛题）
解：猜测直径是bd且∠a＝rt∠.
根据勾股定理，得。
bd2＝252＋602＝4225＝652，把652代入△bcd中检验，刚好652＝392＋522，∠c＝rt∠.
故选( c).
大胆猜想，小心论证是解答选择题的重要方法之一。
例5. 如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如a，b，c三个顶点形成∠abc，∠acb，∠bac)，一共可作出168个角。
那么这些角中最小的一个一定是( )
（a）小于或等于20. (b) 小于或等于22.5 .
(c)小于或等于25. (d)小于或等于27.5 .
2023年希望杯数学邀请赛初二试题)
解：以特殊图形正八边形为例，由一个角的顶点可引5条对角线，把这个角等分为6个角，每个是22.5，即最小角是小于或等于22.5.
故选(b )
二。 淘汰法。
1. 特殊图形排除法。
例6.如果△abc的三条外角平分线相交成△def，那么△def一定是( )
（a）直角三角形。 （b）钝角三角形。 （c）锐角三角形。
d）不是锐角三角形。
解：选择项（c）和（d）是互否的。
我们可用特殊图形(等边三角形abc)画出各外角平分线，围成△def，发现它也是等边三角形，故可排除(a)，(b)，(d). 决定选择(c).
2. 反例排除法。
例7. 下列四个判定平行四边形的命题的题设，其中是真命题的个数为( )
a)1. (b)2. (c)3. (d)4.
1.一组对边相等且一组对角相等的四边形。
2.一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形。
3.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形。
4.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形2023年全国初中数学联赛题）
解：本题四个选择支都是要判定平行四边形的条件，但都不是定理，能否成立，最好是举反例(即画出具有题设条件但又不能成立的图形)来否定，逐一淘汰，下面各图分别否定了第1，2，4 ，只有3能成立。 故选(a).
3. 概念辨析排除法。
例8. 如图，四边形abcd的ab=1，bc=9，cd=8，da=6，对以下五个命题的正确判断是( )
a) ①真②假④真。 (b) ③真④假⑤真。
c) ③真④假⑤假。 (d) ②假③假④真。
1 四边形abcd外切于圆 .
四边形abcd不内接于圆。
两对角线不互相垂直。
∠adc≥90.
△dbc是等腰三角形。 （2023年全国初中数学联赛题）
解：一般判定真命题较难，确定假命题只要举出一个反面的例子便可。
1+8≠6+9， ∴是假；
ac<1+9， ∴ac2<62+82可知④是假；
△abd中bd<1+6， ∴是假。
这就淘汰了(a)，(b)，(d). 故可选( c ).
4. 验证排除法。
例9. 已知：不等边三角形abc的两条高分别为4和12，若第三高也是整数。
那么：它的长度最大可能是( )
(a)4. (b)5. (c)6. (d)7.
解：可以依次把7，6，5，4逐一验证。 ∵是不等边三角形， ∴4先排除。
三角形的面积等于底乘高的一半，即a×ha=b×hb=c×hc
若ha∶hb∶hc 则 a∶b∶c
为4∶12 ∶7 是21∶7∶12 但21>7+12 (排除)；
为4∶12 ∶6 是3 ∶1∶2 但3=1+2 (排除)；
为4∶12 ∶5 是 15∶5∶12 15<5+12 (适合).
故选(b)5. 特值排除法。
例10. 互不相等的三个正数a, b, c恰为一个三角形的三条边，则用下列的三个数为长度的线段一定能作成三角形的是( )
(a)，，b)a2, b2, c2 . c). d).
2023年希望杯数学邀请赛初二试题)
解：根据“三角形任意两边和必须大于第三边”的定理 ，找到适当的特殊值：
当a=3, b=4, c=5时，可以排除(b)（∵32+42=52）；
也可以排除和(d)（∵1+1=2）；
如果a=2, b=6, c=7时， 则(a)也可以排除，（∵
故选(c).
三、练习。1. 矩形abcd中，ab=4，bc=3，把矩形折叠使点a和点c重合，那么折痕ef的长是a)3.
74. (b)3.75.
(c)3.76 . d)3.
78.2. 三角形三条边的比是6∶4∶3，则三条高的比是( )
a)6∶4∶3. (b)2∶3∶4. (c)3∶4∶6. (d)以上都不对。
3. 不等边三角形的边长均为整数，周长是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则符合条件的三角形共有( )
a)一个。 (b) 两个。 (c)三个。 (d) 四个。 （2023年泉州市初二数学双基赛题）
4. 以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10个点为顶点，连成小三角形，这样的小三角形的个数是( )a)11. (b)15. (c)19. (d)不定。
5. 用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7作为四条边构成一个梯形，则在所有构成的梯形中，中位线的长的最大值是（ ）
(a)13.5 . b)11.5. (c)11 . d)10.5. （2023年希望杯数学邀请赛初二试题）
6. △abc中，ab＝ac，bm是中线，则的值是（ ）
(a)大于。 (b)大于。 (c)大于。 (d)大于。
7. 三角形有一个角30度，且一边等于另一边的2倍，那么这个三角形（ ）
a)一定是直角三角形。 (b)一定是钝角三角形。
c)可能是锐角三角形。 (d)以上都不对。
8. 钝角三角形的三边长是连续整数，那么边长必定是（ ）
（a）2，3，4. （b）4，5，6. （c）5，6，7. （d）6，7，8.
9. 已知a, b, c是△abc的三边长，且。
那么△abc必定是（ ）
a)等边三角形。 （b）以a为底的等腰三角形。
c)以c 为底的等腰三角形。 （d）以上结论都不对。
10.设任意△abc的周长为l，外接圆半径为r，内切圆半径为r
那么l，r, r的大小关系是（ ）
a）l＞r+r （b）l11. 已知：四边形abcd内有一点e，连结ae，be，ce，de将四边形分成四个面积相等的三角形。
那么下列甲、乙、丙三个命题中( )
a)只有甲正确。 (b)只有乙正确。 (c)甲乙丙都正确。 (d)甲乙丙都不正确。
甲。abcd是凸多边形； 乙。e是对角线ac的中点或bd的中点；
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