初中数学竞赛辅导教案。
第一课有理数运算。
教学目标。1、复习整理有理数有关概念，整理本章知识网络；
2、培养学生综合运用知识解决问题的能力；
3、渗透数形结合的思想
教学重点和难点。
重点：有理数概念的理解
难点：数轴、绝对值、相反数、倒数的理解及应用。
教学过程。例1计算1/99+2/99+3/99+…+296/99.
解：1/99+2/99+3/99+…+296/99
想一想如果是求n项和1/99+2/99+3/99+…+n/99，能算出来吗？该怎样算？1/m+2/m+…+n/m呢？
例2观察发现这个算式中的任何相邻两项之和为1或-1，如果分别将式中的两项两项，…结合（加括号）求和，就可以得到若干个其和为1的组，关键是最末一项（-1）n+1n是否编在了组里？容易看出，如果这个算式有奇数项，那么（-1）n+1n已编入组里；如果这个算式有偶数项，那么最末一项（-1）n+1n=- n就未编入组里，应单独计算。
解：原式=1+[（2）+3]+[4）+5]+…1）n+1n
想一想如果分别将式中的两项两项，…，分组求和，怎样算？
例3计算11×-1
解：11×-1
+-1（分配律）
-1（结合律）
例4计算1/1+（2/1-1/2）+（3/1-2/2+1/3）+（4/1-3/2+2/3-1/4）+…9/1-8/2+7/3-6/4+…+1/9）。
解：原式=（1/1+2/1+…9/1）-（1/2+2/2+…+8/2）+（1/3+2/3+…+7/3）-…1/8+2/8）+1/9=（1+2+…+9）-1/2（1+2+…+8）+1/3（1+2+…+7）-…1/8（1+2）+1/9=45-1/2×36+1/3×28-1/4×21+…-3/8+1/9=45-18+28/3-21/4+3-10/6+6/7-3/8+1/9=33（5/504）。
练习。1、选择题：
1）计算3-6+9-12+…-1992等于（ ）
a）-332 （b）332 （c）-996 （d）-996
2）计算6666×5555-6665×2222等于（ ）
a）33330000 （b）22220000 （c）55550000 （d）11110000
2、填空题：
1）计算机36+63×0.125+×63+63
2）计算-21-×78+78×0.375-78
3）计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99
4）求和。5）算式1-2+3-…-98+99-100中，除去9的倍数的九，其结果是。
6）计算。7）自然数n=1234567891011…1994，是由1到1994这1994个自然数顺次排列而成，从首位开始的第94个数字是a，第1994个数字是b，则a+b
3、五个数、中，设其中各个数之各为n1，任选两数之积的和为，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，五个数之积为n5，求和。
n1 +n2 +n3 +n4 +n5。
4、计算×+1
5、（2023年上海市初一数学竞赛题）计算的和。
第二课。用图象法解一元二次方程。
教学目标。1. 在（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件。
2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组。方程ax2+bx+c=0中，1 有两个实数根的充分必要条件是。
有两个正实数根的充要条件是(a≠0包含在之中)
有一正一负实数根的充要条件是(a≠0，△>0均已包含在内)
有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是。
3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组。
4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象。
教学过程：例1..已知：方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：0求：k的取值范围2023年全国初中数学联赛题)
解：先画出二次函数y=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象的略图。
根据图象的开口方向是向上，它与横轴有两个交点，这两点在点(1，0)的两旁，的大体位置是：
分析图象可知。
当x=0 时，y>0, 记作f(0)>0；
当x=1时，y<0, f(1)<0；
当x=2时，y>0, f(2)>0.
得不等式组
解这个不等式组得
原不等式组解集是 －2答：k的取值范围是 －2本题由三个点的横坐标0，1，2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组。
例2. m取什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？
解：根据抛物线y= x2+(m+2)x+3的开口向上；它在纵轴的交点为(0，3)；与横轴的两个交点都在点(1，0)右边。 得图象的略图如下（左、右两图）：
据图象分析当x=1时， y>0； 顶点横坐标 －>1；纵坐标≤0.
得不等式组。
解这个不等式组得。
原不等式组解集是 －6答：当－6本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标。
例3.已知：方程(1－m2)x2+2mx－1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).
求：m的取值范围。
解：函数y=(1－m2)x2+2mx－1的图象可由：
它在纵轴上的截距是－1；
与横轴的两个交点在0到1之间。
得知开口是向下的，画出略图如下：：
从图象分析：a<0； f(1)<0； 0<－<1 .
得不等式组
解这个不等式组得。
不等式组解集是 m>2.
本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标。
例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.
求：p的值。
解：根据抛物线y= x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：
根据图象可知：f (1)<0；
顶点纵坐标<0.
得不等式组。
解这个不等式组， 得。
不等式组解集是p<－7 . 答(略)
本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式。 其实只要f (1)<0就可以了。
关键是建立充分必要条件的不等式组。
注意：(1)若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组。
如：例3 可得两个根为和；
2)若符合基本对称式，则可用韦达定理来解。
如： 例4 可用x1－1>0, x2－1<0建立不等式(x1－1)(,x2－1)<0.
左边去括号后，再转化为关于p的不等式。
例5. a取什么值时，方程无解？ ②有3个解？③两个解？
解：画出函数y=和y=a的图象 ，它们的交点就是方程的解。
直线y=a平行于横轴。
①当a＜－1时，直线y=a与y=没有交点，即方程无解；
当a＝1时，直线y=1 与。 y=恰好有3个公共点，即方程有3个解。；
.当a=－1或a>1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解。
例6. 求代数式|x+1|+|x－1|+|x+2| 在－2解：作函数 y=|x+1|+|x－1|+|x+2| 的图象。
由图象可知：当x=－1, y有最小值 3；当x=2时，y有最大值 8.
代数式 |x+1|+|x－1|+|x+2| 有最大值8和最小值 3.
练习651. 一元二次方程k2x2+2(k－1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是＿＿＿可列方程组： 解得。
2. 一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是所以m的取值范围是＿＿＿
3. 一元二次方程2x2+4mx+3m－1=0有两个负实数根的充分必要条件是＿＿＿可列方程组：＿解得：＿＿
4. 已知一元二次方程（m+3x2－4mx+2m－1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大。
求m 的值。
5. 已知一元二次方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根，那么a=＿＿b=__
6. 求代数式在－3＜x<3区间的最大值和最小值。
7. 已知方程（a2-1）x2-6(a+1)x+8=0有实数根，试确定a的取值范围。
8. k取什么值时，方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5？
9. 若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.
求m 的取值范围。
10. 已知：方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中，一根大于3，另一根小于2.
求：m的取值范围。
11. 已知：m和n都是整数，且方程4x2-2mx+n=0的两个实数根，都在0和1之间（不包括0和1）
求：m,和n的值。
12. m取什么值时，方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根，都在－1和2之间（包括－1和2）
13. 二次函数y=(m2-4)x2+(m2-2m+24)x+6(m-6)的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数，试确定m的值。
初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料 面积法。甲内容提要。1.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。2.面积公式 略 3.两个三角形的面积比定理。1 等高 底 的两个三角形的面积比，等于它们对应的底 高 的比。2 有一个角相...
初中数学竞赛辅导
第一课有理数运算1 例1计算1 99 2 99 3 99 296 99.解 1 99 2 99 3 99 296 99 想一想如果是求n项和1 99 2 99 3 99 n 99，能算出来吗？该怎样算？1 m 2 m n m呢？例2观察发现这个算式中的任何相邻两项之和为1或 1，如果分别将式中的 两...
初中数学竞赛辅导 2
初中数学竞赛专题选讲。识图。一 内容提要。1.几何学是研究物体形状 大小 位置的学科。2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。平面几何学 只研究在同一平面内的图形的形状 大小和相互位置。3.几何里的点 线 面 体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点 线 面 体，...