一． 极限。
例1设，求。
例2都为正常数）
夹逼准则。设函数，，满足。
i），当时．
ii）。则．
其他极限过程也有类似夹逼准则，如数列极限：
且，则．例3 要对进行讨论。
例4 例5 求极限。
解：令，于是有。
因为 ，所以，由逼准则知。
例6 证明。
证：不难看出，令，则由二项展开式，得，由此得，即得，由夹逼准则知，当时，，从而，因此，．
注：同理可证．
例7证明数列，，，
的极限存在，并求极限值．
单调有界准则：单调有界数列必有极限。
例 8 设，任取，令，2，…)证明数列收敛，并求．
解：首先用单调收敛准则证明存在．
利用数学归纳法证明，事实上，当时，．
假设当时，则。
从而由数学归纳法知。
又由于。所以单调减少，于是由单调收敛准则知存在，记，由于，知，于是，由，两边同时令，得，解此方程得到，即．
例9 证明数列，，，
的极限存在，并求极限值．
证：运用数学归纳法证明此数列单调增加，当时，成立；假定，则当时，．故当时，，即此数列是单调增加的，同理，由数学归纳法容易证明：对任意的自然数n，都有，即数列有界．因此，极限存在．设，令，对的两边同时取极限，得方程或，解得（舍负），故极限．
例10．已知，证明收敛，并求。
解：由，知，由归纳法知，且当时，有。
故数列和均单调，又因为。
故单调递减和单调增加。
又因为，故和都收敛。又，设，从而，，解得。
故。用单侧极限，函数的连续性及特殊极限）
例11 考察极限的存在性．
解：因为，故．
因为，故．从而当时，是无穷小；而当时，是无穷大．
所以，极限不存在．
例12 求极限。
解：例13 求极限 （其中，（）为常数，，，
解： 例14 求。
解： =例15 求极限。
解：当时，的极限不存在（左极限为，右极限为），但是是有界量，即，根据定理：无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小，可知。
例16 求。
解： 例17 求。
解： 例18 求。解：＝
注：可以证明下列命题：若，则 ．事实上，令。
即，从而。例19 求。
解：利用等价代换：当时，，，
注：当时，常见的等价无穷小量：，，等．
用洛必达法则与泰勒公式。
不定式极限问题共有七种形式：，，其中，是基本的两种。其他任何一种不定式必须化为型不定式，然后才能运用洛必达法则。
洛必达法则1 （型）
设函数，在点的某个去心邻域内有定义，而且满足条件：
2）在内，和均存在，且；
3）（或）。
则（或），其中为常数。
上述法则中的极限过程可以是。
洛必达法则2 （型）
设函数，在点的某个去心邻域内有定义，而且满足条件：
2）在内，和均存在，且；
3）（或）。
则（或），其中为常数。
上述法则中的极限过程可以是。
泰勒定理（带有皮亚诺余项） 设函数在点存在阶导数，则。
其中。泰勒定理（带有拉格朗日余项） 如果函数在含有点的某个开区间内有直到的导数，则当时，有。
其中。这里，在与之间。
例19 求极限。
这是型未定式，，先通分化成型未定式，然后运用洛必达法则。
解： 不要急于运用洛必达法则，先将上式作初等变形。
其中，于是。
例20 求极限。
解题思路这是型未定式，可用洛必达法则求解。假若一开始就用洛必达法则，将会变得复杂。如先将分子有理化，然后把不为零的因子分离出来，同时将分母中用等价无穷小量替代，可使计算大大简化。
注意：尽可能地运用等价无穷小互相代换的方法，有些时候能够使问题得到明显的简化。
例如：求型。
如果直接接运用洛必达法则，求导数是非常复杂的。但若运用等价无穷小量的代替方法，则十分简单：注意到当时，，，则。
例22 求极限。
解题思路这是型不定式极限问题，如果直接运用洛必达法则，将会遇到比较繁杂的求导运算，所以本题宜采用泰勒公式。
于是。泰勒公式是一个非常有用的工具，所以在求不定式极限，估计无穷小的阶等问题中有重要的应用。当泰勒公式用于求型不定式极限时，泰勒公式中的余项一定是皮亚诺余项。
例23 求极限 （型）
例24 求 （型）解： 而。
所以。例25 求。
解题思路这是求数列的极限。虽然为型不定式，但不能直接应用洛必达法则，因为是离散变量，不存在导数，但若能求得，则由于的充分条件是，则。
解： 令，
令， 所以
从而 利用定积分定义和性质相关的问题。
例26 计算 （）
分析］ 此类极限可直接利用定积分定义求。
解答］ 原式=
例27 计算。
分析］ 本题用一般求极限的方法不好做，可利用取对数将乘积化为和式，进而将所求极限化成定积分求解。
解答］ 原式=
总结］ 利用定积分定义是求极限的一种方法，一般若能将所求和式的极限化成形式，则可利用定积分定义直接求得，即。
2023年高等数学竞赛试题。
所有解答必须做在答题纸上，做在试卷上无效。
一．（每小题7分，共28 分）
1．求；2．求；
3．已知时，是比高阶的无穷小量，是比高阶的无穷小量， 试确定正整数的值。
4. 求曲线在处的切线斜率。
二．(8分) 设，且，证明不等式。
三。（8分）计算。
四。 （8分）设， 其中有连续导数， 且，(1) 确定， 使连续； (2) 在连续时，是否连续？
五． (8分)已知，求。
六。 (8分)如图，在圆形湖面上有一亭子，湖心在点，沿湖岸有一条环湖公路，在公路上，摩托车速度为湖中划b
船速度的4倍，现在有人要从点到点（点在公路上。
公里，公里，），先骑摩托车，再换 oa
乘船（船沿直线行驶），问应在何处换乘船，才能以最短的。
时间到达点。
七。(8分)试求。
八。(8分) 设在上连续， 在内可导， 证明： 存在， 使。
九。(8分)设函数在内二阶可导， ,且，试证：在及内单调增加。
十。(8分) 设函数在闭区间上可微，且满足，求证：存在，使。解答。一．
1．解：
2.解： 原式。
3.解：.4.解： 斜率为-1.
二。证：，不等式可变为。
考虑， 当时，即在单调减，得证。
三。解： 令，原式=.
四。解： (1),时，连续；
2)时， ,又，所以也连续。
五。解：对第一式求导得，结合第二式知与满足。
即。或，即，或。
六。解：设摩托车速度为，在点处换船， ｂ
所需时间oa
驻点满足。七。解： 对正整数， ,当， ,所以。
八。证： 令，，在上对用柯西中值定理，存在，使，即，又对在上用拉氏中值定理，存在，使，存在，使。
九。证： 设，再设，单调减，，单调增，在上单调增。
十．证：由积分中值定理，令，则，若，则，在上对用罗尔定理，存在，使，即；
若，则存在，使，在上对用罗尔定理，存在，使，即。
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