一、解答题（共13小题）
1、已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．
1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；
2）求证：b﹣1≤c≤b+1；
3）求b，c的所有可能的值．
2、如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点a，b．已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）．
1）求实数a，b，k的值；
2）如图2，过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△coe∽△boa的点e的坐标（提示：c点的对应点为b）．
3、如图，△abc为锐角三角形，p，q为边bc上的两点，△abp和△acq的外接圆圆心分别为o1和o2．试判断bo1的延长线与co2的延长线的交点d是否可能在△abc的外接圆上，并说明理由．
4、如图，点h为△abc的垂心，以ab为直径的⊙o1和△bch的外接圆⊙o2相交于点d，延长ad交ch于点p，求证：点p为ch的中点．
5、如图，点a为y轴正半轴上一点，a，b两点关于x轴对称，过点a任作直线交抛物线于p，q两点．
1）求证：∠abp=∠abq；
2）若点a的坐标为（0，1），且∠pbq=60°，试求所有满足条件的直线pq的函数解析式．
6、如图，△abc中，∠bac=60°，ab=2ac．点p在△abc内，且pa=，pb=5，pc=2，求△abc的面积．
7、已知点m，n的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点p是抛物线y=x2上的一个动点．
1）求证：以点p为圆心，pm为半径的圆与直线y=﹣1的相切；
2）设直线pm与抛物线y=x2的另一个交点为点q，连接np，nq，求证：∠pnm=∠qnm．
8、已知ab为半圆o的直径，点p为直径ab上的任意一点．以点a为圆心，ap为半径作⊙a，⊙a与半圆o相交于点c；以点b为圆心，bp为半径作⊙b，⊙b与半圆o相交于点d，且线段cd的中点为m．求证：mp分别与⊙a和⊙b相切．
9、已知抛物线y=﹣x2﹣3x+4和抛物线y=x2﹣3x﹣4相交于a，b两点．点p在抛物线c1上，且位于点a和点b之间；点q在抛物线c2上，也位于点a和点b之间．
1）求线段ab的长；
2）当pq∥y轴时，求pq长度的最大值．
10、如图，点e，f分别在四边形abcd的边ad，bc的延长线上，且满足．若cd，fe的延长线相交于点g，△deg的外接圆与△cfg的外接圆的另一个交点为点p，连接pa，pb，pc，pd．
求证：（1）；（2）△pab∽△pdc．
11、已知：如图，ab=bc=ca=ad，ah⊥cd于h，cp⊥bc，cp交ah于p．求证：△abc的面积s=apbd．
12、如图，abcd是⊙o的内接四边形，延长ab和dc相交于e，延长ab和dc相交于e，延长ad和bc相交于f，ep和fq分别切⊙o于p、q．求证：ep2+fq2=ef2．
13、如图，已知⊙o1和⊙o2相交于a、b，直线cd过a交⊙o1和⊙o2于c、d，且ac=ad，ec、ed分别切两圆于c、d．
求证：ac2=abae．
二、选择题（共6小题）
14、若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（ ）
a、1 b、2
c、 d、15、点d，e分别在△abc的边ab，ac上，be，cd相交于点f，设s四边形eadf=s1，s△bdf=s2，s△bcf=s3，s△cef=s4，则s1s3与s2s4的大小关系为（ ）
a、s1s3＜s2s4 b、s1s3=s2s4
c、s1s3＞s2s4 d、不能确定。
16、设，则4s的整数部分等于（ ）
a、4 b、5
c、6 d、7
17、在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（ ）
a、1 b、2
c、3 d、4
18、如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形abcd的顶点坐标分别为a（1，1），b（2，﹣1），c（﹣2，﹣1），d（﹣1，1）．以a为对称中心作点p（0，2）的对称点p1，以b为对称中心作点p1的对称点p2，以c为对称中心作点p2的对称点p3，以d为对称中心作点p3的对称点p4，…，重复操作依次得到点p1，p2，…，则点p2010的坐标是（ ）
a、（2010，2） b、（2010，﹣2）
c、（2012，﹣2） d、（0，2）
19、已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，若s=2x+y﹣z，则s的最大值与最小值的和为（ ）
a、5 b、6
c、7 d、8
三、填空题（共7小题）
20、若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是。
21、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是。
22、如图，点a，b为直线y=x上的两点，过a，b两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于c，d两点．若bd=2ac，则4oc2﹣od2的值为。
23、若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为。
24、如图，在rt△abc中，斜边ab的长为35，正方形cdef内接于△abc，且其边长为12，则△abc的周长为。
25、已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则。
26、已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为。
答案与评分标准。
一、解答题（共13小题）
1、已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．
1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；
2）求证：b﹣1≤c≤b+1；
3）求b，c的所有可能的值．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）分类讨论，根据x1x2＞0，x1′x2′＞0知道x1与x2同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；
2）分别证明b﹣1≤c和c≤b+1，利用根与系数的关系和整数根；
3）根据（2）中b﹣1≤c≤b+1，分别另c=b+1、b、b﹣1进行求解，从而得到所有正确的结果．
解答：解：（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．
若x1＞0，则x2＞0，这时﹣b=x1+x2＞0，所以b＜0，此时与b=x1′x2′＞0矛盾，所以x1＜0，x2＜0．
同理可证x1′＜0，x2′＜0．
2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤﹣1，x2≤﹣1．
由韦达定理c﹣（b﹣1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，所以c≥b﹣1．
同理有b﹣（c﹣1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0
所以c≤b+1，所以b﹣1≤c≤b+1．
3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：
i）c=b+1．由韦达定理知。
x1x2=﹣（x1+x2）+1，所以（x1+1）（x2+1）=2，所以或。
解得x1+x2=﹣5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
ii）c=b．由韦达定理知。
x1x2=﹣（x1+x2），所以（x1+1）（x2+1）=1，所以x1=x2=﹣2，从而b=4，c=4．
iii）c=b﹣1．由韦达定理知。
（x1′+x2′）=x1′x2′﹣1
所以（x1′+1）（x2′+1）=2，解得x1′+x2′=﹣5，x1′x2′=6，所以b=6，c=5．
综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．
2、如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点a，b．已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）．
1）求实数a，b，k的值；
2）如图2，过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△coe∽△boa的点e的坐标（提示：c点的对应点为b）．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）根据点a的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点b的坐标，根据a、b的坐标，可得到直线ab的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为m）坐标，以om为底，a、b纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△boa的面积，已知此面积为3，即可求得点b的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．
2）易求得b（﹣2，﹣2），c（﹣4，﹣4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为d，那么∠cod=∠bod=45°，即∠cob=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；
将△boa绕点o顺时针旋转90°，此时b1（b点的对应点）位于oc的中点位置上，可延长oa至e1，使得oe=2oa1，那么根据三角形中位线定理即可得到b1a1∥ce，那么e1就是符合条件的点e，a1的坐标易求得，即可得到点e1的坐标；
参照①的方法，可以oc为对称轴，作△b1oa1的对称图形△b1oa2，然后按照①的思路延长oa2至e2，即可求得点e2的坐标．
解答：解：（1）∵反比例函数经过a（1，4），k=1×4=4，即y=；
设b（m，），已知a（1，4），可求得。
直线ab：y=﹣x+4+；
s△boa=×（4+）×1﹣m）=3，2m2+3m﹣2=0，即m=﹣2（正值舍去）；
b（﹣2，﹣2）．
由于抛物线经过a、b两点，则有：
解得；y=x2+3x．
故a=1，b=3，k=4．
2）设抛物线与x轴负半轴的交点为d；
直线ac∥x轴，且a（1，4），c（﹣4，4）；
已求得b（﹣2，﹣2），则有：
cod=∠bod=45°，即∠boc=90°；
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