1.求。
分析求项的和当时的极限， 用到积分和式求极限与夹逼定理。
将适当放大、缩小是解题的关键之一，另外注意到用定积分求。
解 ,且。所以， 由夹逼定理知。
2.求极限。
分析本题明显是型不定式， 结合变上限函数，故用洛必达法则求解。
解法1 解法2
3. 求极限。
分析本题包含幂指函数， 如果考虑用洛必达法则将使计算很繁。故先用等价无穷小量替换，化简后再灵活求解。
解法1 原式。
解法2 原式。
4. 求。分析求极限的题目变换灵活，方法多样，本题是幂指型函数，可采用多种变换方式。 解法1 .
故=.所以==9.
解法2 ==
所以===解法3 ==所以===
5. 设存在极限，求常数与。
分析与求解。
时，极限不存在。
时原极限为型极限，改写成。
当时，时，极限均不存在，于是必有，即，此时。
因此。6. 已知，求的值。
分析像这种类型的极限，已知此未定式的极限存在且等于2,要确定极限式中的参数。一般有两种方法： 方法1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值； 方法2 先提出因子，将型化为型， 然后由极限式存在的条件定出极限式中所含参数之值。
解法1 原式可改写成。
由于上式成立，所以必有， 即=0,.
将代入原式，并有理化得。
故，.解法2 原式改写成。
由于上式成立，所以必有， 即=0,.
是型。而， 故有，.
解法3 =.
因此有，故。
7. 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。
分析题设可知是无穷小量，故其极限为零。
在时是比高阶的无穷小，也可得到关于的关系式。
解法1由题设条件知。
由于，故必有。
又由洛必达法则，有。
因，故。由可得。
解法2 由条件可知。
所以=从而。
即当时，有=.
8.证明：若， 则。
分析可以考虑重要极限公式，但要注意变换的切入点。
证法1 设，则， ,因此。
则，但是，所以。
证法2 令， 则，两边取对数得。
由此看出， 当时， ,故。
9. 已知当时，与是等价无穷小，求的值。
分析一方面因为与是等价无穷小，显然由极限式来确定的值。可通过等价无穷小量代换来求解。
另一方面由已知条件有极限式，显然是型未定式，故可用洛必塔法则。
解法1 所以有。
而，故， 所以，显然为任意实常数。
解法2 而，所以，显然为任意实常数。
10. 求函数在处的阶导数。
分析求函数的高阶导数(用两个函数乘积的阶导数的莱布尼兹公式或泰勒展开。
解法1 由莱布尼兹公式。得。因为]
所以。因此。
解法2 由麦克劳林公式。
所以，比较前的系数知：
因此。11.确定常数的值，使。
分析有变上限出现的地方常常会涉及变上限求导，在求极限的运算中就需要洛必达法则，但切记用洛必达法则的条件，而判断型极限又为确定常数的值提供了条件。
解因为而，所以
也可以从以下得出：设， 则有。
因此， .因为当时，则对；
当时，则对。
所以， ,与题设不符， 得。
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