（ 180 分钟） 考试日期 2004 年 9月 11 日。
一、选择题（40分）
1. 下列命题中正确的命题有几个a ）
1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；
3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量。
a) 1个； (b) 2个； (c) 3个； (d) 4个。
2. 设， 则是间断点的函数是b ）
a)； b)； c)； d)..
3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则c ）
a) 1； (b) ；c)； d).
4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令， 则当时，的d ）
a) 高阶无穷小； (b) 低阶无穷小； (c) 同阶无穷小但非等价无穷小；(d) 等价无穷小。
5. 设在点的某邻域内连续，且满足。
则在点处a ）
a) 取极大值； (b) 取极小值； (c) 无极值； (d) 不能确定是否有极值。
6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有d ）
a) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；
b) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；
c) 2个极小值点与2个极大值点， 无拐点；
d) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点。
7. 设有连续的一阶导数，则b ）
a)； b)； c)； d) 0 .
8. 设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为， 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与b ）
a) 两者都收敛； (b) 两者都发散； (c)一个收敛一个发散； (d) 以上三种情况都可能发生。
9. 设阶矩阵a的伴随矩阵，且非齐次线性方程组有两个不同的解向量，则下列命题正确的是d ）
a)也是的解b)的通鲜为（）；
c) 满足的数必不为零； (d) 是的基础解系。
10. 设则三个平面。
两两相交成三条平行直线的充要条件是c ）
a) 秩； (b) 秩；
c)中任意两个**性无关，且不能由线性表出。
d)线性相关，且不能由线性表出。
二、(10分）设在区间连续，,
试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；
4）设在内的最大值和最小值分别是，求证：.解（1）
三、（10分）求曲线所围成的平面图形的面积。
解1]去掉绝对值曲线为：
解2]令。四、（10分）设曲面为曲线() 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分。
解1]s的方程为。
补两平面。解2]
五、（10分）设n阶矩阵的前个列向量线性相关， 后个列向量线性无关，; 1）证明线性方程组有无穷多解；（2）求方程组的通解。
解（1）相关，相关；无关，的秩为，且可以由表出；又由已知可由表出，故与等价，从而的秩为，，增广矩阵的秩与a的秩相等，即，故有无穷多解。
2）相关，不全为0的数，使，即，又的基础解系只含一个解向量的基础解系；
又的解，故的通解为x = c
六、（10分）设阶矩阵的4个不同特征值为， 其对应的特征向量依次为，记， 求证： 线性无关。
解1]从而。
无关，，，故的秩为4，故线性无关。
解2]设存在一组数使。
由题设，利用特征向量的性质可得。
将（2）式一并代入（1）式可有。
整理得。因分属不同的特征值，故线性无关，从而有。
视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列的转置。 因互异，所以。 这表明只有零解，即=0，从而线性无关。
七、（10分）设幂级数， 当时，且；
1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值。
解（1）令。
求得。2）由。
八、（10分）设函数可微，, 且满足求。
解 对y积分得。
代入， ，九、（10分）如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点。
解如图所示，设为船在要时刻的位置
此时两个分速度为，消去t得。
又，代入得，则有。
讨论：①当。
2019高等数学竞赛试题及参考解筨
一 选择题 40分 1.设，且，则 c a 存在且等于零b 存在但不一定等于零 c 不一定存在d 一定不存在。2.设是连续函数，的原函数，则 a a 当为奇函数时，必为偶函数 b 当为偶函数时，必为奇函数 c 当为周期函数时，必为周期函数 d 当为单调增函数时，必为单调增函数。3.设，在内恒有，记，...
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高等数学练习2解答
北京理工大学2005 2006第二学期。工科数学分析 b 综合练习 2 参考解答。一。二。10.c.三。设，由题意 又因为 即。得解得，故 故。四。质心。五。设为雪堆体积，为雪堆侧面积，则。由题意 得 解得 由，得，令得 小时 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。六。1 如图，设...