1. 已知，求。
解：由罗比塔法则得，即。
又， 2. 已知，讨论的单调性。
解：对隐函数方程求导得，。
令，则为偶函数，且。
显然，，单调增加。时。
于是时为单调增函数，。
故。所以 3. 设是的一个原函数，且，求。
解：由条件知。
两边积分得。，。
故。4. 已知是如图所示的抛物线，且。
有极小值是2，极大值是6，求。
解：由条件可设。
所以 由图形知在为单调增函数，所以。
，故。 5. 求曲线与。
解：如图所示，所求面积。
为三角形面积，所以
把曲线用极坐标表示为，则
利用换元法，将此积分转化为对参数的积分。而。 故。
另解：利用曲线积分。由曲线积分可知，其中为红色曲线，为线段。，。所以。
6. 已知满足，这里为极坐标。求，。
解：， 由条件知，解之得：，
7. 椭圆到直线的最大和最小距离。
解：上任意点到直线的距离，
令。 解得。，。
8. 在点做曲面的切平面。求该切平面与及所围成立体的体积。
解：(1)在（1,0,2）的法向量，得切平面方程。
(2) 所围立体以为顶，为底，以为侧面。
所以，其中d是围区域。
9. 设为曲线绕轴旋转一周生成的曲面与平面所围成的区域，求积分。
解：旋转曲面方程为：，所以为。
利用对称性可知。
于是 在平面上投影为。利用柱坐标。
10. 设、、是二阶线性方程的三个解，这里为常数。求此方程在点有水平切线的解。
解：由线性常微分方程解的性质可知：
和是二阶齐次线性方程的解，所以是的通解。
所待求的解可表示为，且满足条件，。，
所求解为： 。
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