韶关学院第十二届数学建模竞赛题参考解答。
一、 成品检验。
解： 设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品；则一个车间生产两天的所有成品为 (x + 2y) 个，一个车间生产6天的所有成品为 (x + 6y) 个，由于a组的9个检验员每天的检验速度相等，所以a组检验员每天检验的成品数量是相同的， 可得。
解得：x=10y, 从而， 每一个检验员每天检验的成品数量为：
又因为b组所检验的是6个车间，这6个车间生产6天的所有成品为6(x + 6y)个，而这6(x + 6y)个成品要b组的人检验6天，所以b组的人每天检验成品的数量为 (x + 6y) 个。
因为所有检验员的检验速度都相等，所以 (x + 6y) 个成品所需的检验员人数为：
人）.答：b组有12个检验员。
二、 投圈游戏。
解： 按规则， 圆圈的圆心须落在如图中的阴影部分方能获奖， 则按几何概型可知， 此时获奖概率为。
另外， 要想使获奖的概率不超过1%, 即。
可解得 2r ≥ 45cm, 即当圆圈的直径大于等45cm时(当然要小于50cm)可使获奖率不超过1%.
三、科学施肥。
解： 设每周需用有机肥料x kg,化学肥料y kg,每周总的肥料费用为z元，那么可得如下线性规划模型。
用**法求解， 作出可行域如下图所示：
作一组平行直线 0.9x+0.3y = t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线，经过直线x + y=14000和直线y = x/10的交点a(140000/11, 14000/11), 即x = 140000/11, y = 14000/11时，肥料费用最低。
所以， 有机肥料和化学肥料应按10:1的比例混合时成本最低。
四、陶罐药量。
解：设x表示任一时刻t在陶罐内药物总量。那么，dx/dt表示在陶罐内药物总量的变化率。药物进入陶罐速率为：
50(ml/s) ×0.1(g/ ml) ＝5(g/s)
某时刻陶罐内存药物为 x(t) (单位：g )，浓度是 x / 500(g / ml)，药物离开陶罐的速率为：
50(ml/s) ×g/ ml) ＝g/s)
又由于总量的变化率等于药物进入速率与离开速率之差，故可得如下微分方程模型：
这就是我们建立的微分方程模型。求解此模型，由。
解得。将x(0)=0代入，得c=50.
因此，陶罐药物总量关于时间t的函数， 1分钟后陶罐内药物总量为：x(60) =50 – 50e-6 ≈ 49.88g.
五、 船身长度。
解： (1) 不能顺利通过；
(2) 船身长为 ab + bc, 易知有。
(3)显然 l( θ是 (0, π2) 上的连续函数， 其最小值即为船能通过的最大长度。 为此， 先求其导数得。
令 l( θ0, 可得唯一驻点 θ0 满足。
代入l( θ可得船身最大长度为。
将数据代入可得船身最大长度为125米。
六、电力**。
解：问题(1)求解：
解法一（最大流算法）: 这是单源网络最大流问题。 记 fij 为结点 i 到结点 j 的弧流量， cji 为弧容量， cji 为相应的逆向弧容量。
第一次迭代：令所有 fij = 0, cji = 0；
选取从结点0到结点8的一条路径：[=10; 计算各边的流量及容量如下：
f01 = f15 = f58 = 0 + 10 = 10;
c01 = 20 – 10 = 10, c15 = 10 – 10 = 0, c58 = 15 – 10 = 5;
逆向弧容量 c85 = c51 = c10 = 0 + 10 = 10.
将结果画在如下图中， 图中连线上数字表示当前弧容量， 带下划线数字为逆向弧容量。
第二次迭代：
选取路径 [=25; 计算各边的流量及容量如下：
f03 = f37 = f78 = 0 + 25 = 25;
c03 = 40 – 25 = 15, c37 = 0, c78 = 35 – 25 = 10;
逆向弧容量 c87 = c73 = c30 = 0 + 25 = 25.
将结果画在如下图中：
由于从结点0到结点8只有上述两条路径， 且从上图可看出两条路径都已无正容量， 所以结点0到结点8的最大流为 10 + 25 = 35.
解法二： (列举法)可将从结点0到结点8的所有路径一一列出如下：
路径1: [10; 计算各边的流量及容量如下：
f01 = f01 + 10 = 20, f14 = 0 + 10 = 10, f46 = 0 + 10 = 10;
c01 = c01 – 10 = 0, c14 = 15 – 10 = 5, c46 = 25 – 10 = 15;
c10 = c10 + 10 = 20, c41 = 0 + 10 = 10, c64 = 0 + 10 = 10.
将结果画在如下图中：
第三次迭代：
选取路径 [=15; 计算各边的流量及容量如下：
f02 = f24 = 15, f46 = f46 + 15 = 25;
c02 = 25 – 15 = 10, c24 = 25 – 15 = 10, c46 = c46 – 15 = 0;
c20 = 0 + 15 = 15, c42 = 0 + 15 = 15, c64 = c64 + 15 = 25.
将结果画在如下图中：
第四次迭代：
选取路径 [=30; 计算各边的流量及容量如下：
f03 = f36 = 0 + 30 = 30;
c03 = 40 – 30 = 10, c36 = 30 – 30 = 0;
c30 = 0 + 30 = 30, c63 = 0 + 30 = 30.
将结果画在如下图中：
第五次迭代：
选取路径 [=10; 计算各边的流量及容量如下：
f03 = f03 + 10 = 40, f37 = 0 + 10 = 10, f76 = 0 + 10 = 10;
c03 = c03 – 10 = 0, c37 = 25 – 10 = 15, c76 = 20 – 10 = 10;
c30 = c30 + 10 = 40, c73 = 0 + 10 = 10, c67 = 0 + 10 = 10.
将结果画在如下图中：
从上图可看出已再找不出从结点0到结点6正容量的路径了， 所以结点0到结点6的最大流为 f36 + f46 + f56 + f76 = 30+25+10+10 = 75.
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