一、选择题（40分）
1. 设，且，则（ c ）
a) 存在且等于零b) 存在但不一定等于零；
c) 不一定存在d) 一定不存在。
2. 设是连续函数，的原函数，则（ a ）
a) 当为奇函数时，必为偶函数；
b) 当为偶函数时，必为奇函数；
c) 当为周期函数时，必为周期函数；
d) 当为单调增函数时，必为单调增函数。
3. 设，在内恒有，记，则有（ b ）
abcd) 不确定。
4. 设有连续导数，且，，当时，是同阶无穷小，则（ b ）
a) 4b) 3c) 2d) 1.
5. 设，则在点（ d ）
a) 不连续b) 连续但偏导数不存在；
(c) 可微d) 连续且偏导数存在但不可微。
6. 设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ a ）
ab) 3, 11c)； d).
7. 设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ d ）
a) 等于k； (b) 等于； (c) 大于k； (d) 不一定等于k，与l2的形状有关。
8. 设在处收敛，则在处（ d ）
a) 绝对收敛b) 条件收敛； (c) 发散d) 收敛性与an有关。
9. 设a为矩阵，b为矩阵，若，则齐次线性方程组（ c ）
a) 无解b) 只有零解； (c) 有非零解； (d) 可能有解，也可能无解。
10. 设是空间个相异的点，记，则共面的充分必要条件是（ d ）
a) 秩(a)=1b) 秩(a)=2c) 秩(a)=3d) 秩(a)=2或秩(a)=3.
二、（8分）设，试确定、的值，使都存在。
解：当时，，故；当时，
三、（8分）设的一个原函数，且，求。
解：，，由知，四、（10分）设，s为的边界曲面外侧，计算。
解：（下侧），（上侧），五、（10分）已知向量组线性无关，向量都可用表出，即。
求证：线性相关的充分必要条件是矩阵的秩。
解：（）设线性相关，则不全为0的使，即，
线性无关， ，即。
是齐次线性方程组的非零解，故。
）设，则有非零解，即不全为0的使成。
立，从而，故线性相关。
六、（10分）设n阶实对称矩阵的秩为r，且满足（称a为幂等矩阵），求：
1）二次型的标准形；
2）行列式的值，其中e为单位矩阵。
解： a为实对称阵， 正交阵p，使，，为a的特征值。
1）设是a的任一特征值，为对应特征向量，则，，，或，即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。
由，知中有r个1，个0，适当排列p中列向量，可使，其中为r阶单位矩阵，故二次型的标准形为。
2）由得，故。
七、（10分）已知，，，
求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根。
解一：（1），
又收敛， 收敛，收敛，又因，故收敛。
2）令， ，且，，即a是的根，令，，，故根唯一。
解二：由已知，，…由此可见，， 用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。
由知、收敛，令，；
由，，知，。
对两边取极限得， ①
对两边取极限得， ②
由①—②得，解得。
由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。
八、（12分）设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：
其中d为圆环域：
解一：令，，，由已知当时，，，故。
解二：令，，
令为（逆时针），为（顺时针）
九、（12分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为r，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点， 试求楼梯曲线的方程。
解：设曲线上任一点为， ，曲线参数方程为（*）在点的切向量为，垂线方向向量为。，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。
2019高等数学竞赛试题及参考解筨
一 选择题 40分 1.设，且，则 c a 存在且等于零b 存在但不一定等于零 c 不一定存在d 一定不存在。2.设是连续函数，的原函数，则 a a 当为奇函数时，必为偶函数 b 当为偶函数时，必为奇函数 c 当为周期函数时，必为周期函数 d 当为单调增函数时，必为单调增函数。3.设，在内恒有，记，...
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