成都大学第二届高等数学竞赛试题。
考试时间：上午9：00-11:00.
一、 填空题（每题2分，共20分）
1. 设，则。
2. 设，则。
3. 函数在内的最小值为。
4. 求极限
5.求极限。
6.级数的收敛域为。
7. 一平面经过两点(1,0,1)和(2,1,3)，且垂直于平面则该平面方程为。
8. 函数在处的梯度为。
9．求值。10. 微分方程的通解为。
二、（10分）已知曲线求上距离面最远的点和最近的点．三、（10分）计算曲线积分，其中是曲线上从到的一段．四、（10分）设，满足：
证明：收敛，并求。
五、（10分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式。
）验证；）若，求函数的表达式。
六、（10分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).
七、(10分) 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为）.
汽锤第一次击打将桩打进地下m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数。 问：
1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
八、（10分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
）存在使得；
）存在两个不同的点，使得。
九、（10分）计算其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。
《高等数学》竞赛试卷
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高等数学竞赛辅导
1.求。分析求项的和当时的极限，用到积分和式求极限与夹逼定理。将适当放大 缩小是解题的关键之一，另外注意到用定积分求。解 且。所以，由夹逼定理知。2.求极限。分析本题明显是型不定式，结合变上限函数，故用洛必达法则求解。解法1 解法2 3.求极限。分析本题包含幂指函数，如果考虑用洛必达法则将使计算很繁...
2023年高等数学竞赛提纲
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