2023年江苏省第十一届高等数学竞赛模拟试题（1）
一．填空题。
2.极限。3. 设， 则。
4. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数。
5. 设函数由方程所确定， 则曲线在点处的法线方程为___
6. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为。
7.已知函数，则。
8.不定积分：
11.已知函数在点处连续，且，则。
12. 若级数收敛，则的取值为
13.函数，则。
14. 设，则。
二．选择题。
1.函数的可去间断点为( )
a) (b) (c) (d)无可去间断点。
2.设，,则当时，是的( )
a)同阶无穷小但不等价 (b)低阶无穷小 (c)高阶无穷小 (d)等价无穷小。
3.．设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）
a）若只有一个零点，则必至少有两个零点；
b）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；
c）若没有零点，则至少有一个零点；
d）若没有零点，则至多有一个零点。
4.．设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（ ）
ab）；cd）。
5.．设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）
a）若只有一个零点，则必至少有两个零点；
b）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；
c）若没有零点，则至少有一个零点；
d）若没有零点，则至多有一个零点。
6..设常数，函数，在内零点个数为( )
a)3 (b)2 (c)1 (d)0
7.．设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（ ）
ab）；cd）。
8.．设则（ b ）
(a)；（b）；（c）；（d）
9.．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为1：3，则平面的一个方程为ab.
cd. 10.过点且与直线垂直的平面方程是( )
a) (b)
c) (d)
三．解答题。
1. 设，求常数。
2. 设，求。
3.已知函数由方程组确定，求。
4. 设在上连续，在内可导且对于内的一切均有，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之间，至少有一个零点。
5. 求． 求。 计算不定积分。
6.过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的图形面积最小。
7. 设曲线在点处的切线方程为，试求：
8. 将展开为的幂级数，并指明收敛区间。
9. 设，(1) 求函数的单调区间与极值；
2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
10. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。
1) 求的面积；
2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
11. 设在上连续，在内可导，且，证明： 在内至少存在一点，使。出师表。
两汉：诸葛亮。
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。
今当远离，临表涕零，不知所言。
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