（试题共4套数学类、工科类、经管类、文专类。
前面是试题后面是答案）
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题。
工科类。一计算题：（每小题1４分，满分７0分）
1．求极限。
2．设函数可导，且，满足，求的表达式。
3．计算（为正整数）。
4．计算，为与围成的平面有界闭区域。
5．求曲线，的形心，其中为常数。
二、（满分20分）
证明：，。三、（满分20分）
设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。
四、（满分20）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
证明。2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题。
经管类。一、计算题（每小题14分，满分70分）
1求极限。2．设（为常数），求。
3．计算（为正整数）。
4．求积分。
5．设函数，，常数，试求最小的常数，使得。
二、（满分20分）
证明：， 三、（满分20分）
求的值。四、（满分20分）
在草地中间有一个半径为的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
1）求极限。
2）证明。2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题。
数学类。一、计算题（每小题14分，满分70分）
1．求极限。
2．设函数可导，且，满足，求的表达式。
3．计算。4．计算，为与围成的平面有界闭区域。
5．求的值。
二、（满分20）
证明： 使。
三、（满分20分）
设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。
四、（满分20分）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
设，收敛，证明：
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题。
文专类。一计算题：（每小题14分，满分70分）
1．求极限。
2．设（为常数），求。
3．计算。4．求不定积分。
5．极值设函数，常数，试求最小的常数，使得。二、（满分20分）
设，且，证明有。
三、（满分20分）验证，并计算积分。
四、（满分20）
在草地中间有一个半径为的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
设函数在内可导，且极限与都存在，证明。
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题答案。
工科类答案。
一、计算题。
1、若 同理，当时， ，所以。
2、解：由假设，，有可导。
同理 3、解：
4、解： 原积分。
5、解：，
而。二、证明：显然
另一方面。三、证明：时，显然有。
反之，若成立，即有。
也即 四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线即
记在山羊能吃到草的草地面积为。
所以山羊能吃到草的草地面积。
方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积和。
绳子绕向房子时转过其扫过的面积可近似为扇形
所以。五、证明：
而等式成立。
经管类答案。
一、计算题。
1、若 同理，当时， ，所以。
2、解： 同理。
可得。3、解：
4、解： 5、解：
在处取到最小值，
令即时且在时， 所以。
二、证明：显然
另一方面。三、解：
而 而原级数。
四、解：以过拴羊点与池塘圆心为轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为而羊能跑的最大圆周为，易知在时，两圆有两个交点。
五（1）解： 原极限。
数学类答案。
一、计算题。
1、若 同理，当时， ，所以。
2、解：由假设，，有可导。
同理 3、解：
4、解： 原积分。
5、解： 而
而原级数。二、证明：对于不妨设，
由柯西中值定理。
取即有。三、证明：时，显然有。
反之，若成立，即有。
也即 四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线即
记在山羊能吃到草的草地面积为。
所以山羊能吃到草的草地面积。
方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积之和，绳子绕向房子时转过其扫过的面积可近似为扇形
所以。五、证明：“”记。
而。文专类答案。
一、计算题。
1、若 同理，当时， ，所以。
2、解： 同理。
二、证明：记由台劳公式。
三、解： 所以。
四、解：以过拴羊点与池塘圆心为轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为而羊能跑的最大圆周为，易知在时，两圆有两个交点。
五、证明：由中值定理：存在
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