３６中等数学。
中图分类号：ｇ４
文献标识码：ａ
文章编号一ｏ４
选择题（每小题５分，共５０分）
．已知集合。
＝｛ｉ一１ｉ＜一口ｌ≤１且ｐｎｑ则实数口取值范围为（
ａ）口ｉ＞３
ｂ）口≤一１
ｃ）口≤一１或０ｉ＞一１≤口≤３
．若 、卢ｅ ｒ贝黾的（
条件．ａ）充分而不必要（ｂ）必要而不充分。
ｃ）充分必要‘（ｄ既不充分也不必要。
．已知等比数列｛０ 口 ＝３且第一项至第八项的几何平均数为９．则第三项是（
ａ）３海。．已知复数且ｚ＝８则ｚ＝（
ｂ）一２＋２或２—２
ｃ）一或一２—２
．已知直线ａｂ与抛物线ｙ ＝交于ａ、两。
点，为ａｂ的中点，ｃ为抛物线上一个动点．若点ｃ。满足。
则下列一定成立的是（
ａ）ｃ上ａｂ
ｂ）ｃ上ｆ（ｆ是抛物线过点ｃ。的切线）（ｃ上ｃｏｂ
厶。．若三位数ａｂｃ被７整除，且０、ｂ成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（个．
．程序框图如图１所示．当ｅ＝０时，则输。出的后＝（
图１．已知一个立体图形的三视图如图２所示．则该立体的体积为（
正视图：上下。
两个正方形。
俯视图：边长为２的正三角形。
图２学（ｃ）学（ｄ）
．设函数）＝ｘ一１）（一２）（一３）．
则函数ｙ＝）的极大值点为（
０．已知）、ｇ均为一次函数．若。
对实数满足。
０１４年第１期。
—ｌ，一１；
３ｘ＋一１≤
一２＋２则 （）
ａ）ｘ一÷（ｂ一一÷
ｃ）一。二、填空题（每小题７分，共４９分）
１．若则 —ｙ
２．设）＝ 一（ｋ＋若当 ＞ｏ恒大于零，则ｋ的取值范围为一。
３．已知数列则数列中最大。
项的值为一１４．若 、ｙ满足。
一２ｘ 一２ｙ（一 ＝５则（，ｙ
５．设直线ｆ与曲线ｙ＝ 有三个不同的交点、ｃ且则直线ｌ的方程为——．
６．若口＞０，则。
７．某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴、ｙ轴上的整点），其运动规律为（ｒａ
ｍ＋１或（ｍ，
ｍ＋１一１）．若该动点从原点出发，经过６步运动到点（６，则有——种不同的运动轨迹．
三、解答题（每小题ｌ７分，共５１分）
８．已知抛物线ｙ ＝过轴上点ｋ的直线与抛物线交于点ｐ、ｑ证明：存在唯一一点ｋ，使得。
为常数，并确定点ｋ的坐标．
９．设二次函数。
一口一２（ａ口≠０）在［３，上至少有一个零点．求０ ＋的最小值．
ｏ．设 （ｅ满足。
ｊ＜西’已知数列口１，口２，…是公差为叭。、首项为（＋１一１的等差数列；数列ｂ。，
２ｏ１是公比为ｌ首项为（＋１的等比数。
列．证明：四、附加题（每小题２５分，共５０分）
１．设口、ｂ、满足。证明：口。
其中，“∑表示轮换对称和．
２．从０，１中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”．若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”．问：图３和图４是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美。
填法；若不存在，请说明理由．图３图４
参***。
由题设知。若使ｐｏｑ贝０口一１＞ｉ或口＋１≤解得ｏ≤一１或０≥３
当 ＝０卢＝９０时，ｓｉ卢＝１．当 ＝ 时，ｉｎ卢＝√ 但 ＋卢≠９０
计算得ｑ：３丁，从而，０，
由题意知。
注意到，８１一．（＋一ｉｌｚ
铺ｃｍ上ｆ．
设满足题意的三位数为一９９ｄ其中，０≤一。
由７ｉ（一。
ｂ，ｄ一１），一２），一３），一。
８，一１）．故所有的三位数为。
由题意知。丽。
丽一＋１一。
从图２知立体图形是由两个三棱柱组成．
由图像，知 ＝１为函数极大值点，＝３是极。
小值点，＝０不是极值点．
）＝二一＝一＋丢．
二、１１争。
由ｔａｎ川。
＝》一。一１）．
由一。又 ＋ 等号在 ： 时取得，此时，＜一１．
中等数学。３．，设ｉ厂（）＝戈ｉ＝ｅ了ｌ．则一ｉｎ
解得 ：ｅ为极大值点．
于是，数列最大项为第三项，其值为 ．
将题中方程视为关于戈的一元二次方程，则△＝４一１）一。
ｙ＝一，＝３
注意到，曲线关于点（０，对称．设直线方程为），＝点ａ（ｘ则。
１，ｙ可＝ｋ一。
故所求直线方程为ｙ＝２
设ｍａｘ口，６，古）＝ｍ则。口≤ｍ，
ｉｎ（堋＝．
：一ｃ ＝三、１８设点ｋ（口，０）过ｋ的直线方程为ｙ＝ 一ｎ），与抛物线交于点。
将直线方程代人抛物线方程得。２ｘ一。
（口。又ｉｐ 一。
１１＋詈．１｝
而。０１４年第ｌ期３９
令ａ＝２则丽１＋＝丢，点 ，０
其次证明：６…口。
注意到，ｂ，一０，＝
９．将题设式视为关于ａ、ｂ的直线方程。
假设ｉ≤ｉ时，结论成立．则。
一１）ａ一２＝０
＋２一口 ＋１
由直线上一点（口，６）到原点的距离大于或等（６＋一ｂ＋１一（０＋一口。
于原点到直线的距离，得。
一。综上，命题得证．
设一则式①右边变为。
四、２１原命题等价于。
又。３，故只需证。
故当 ＝ｌ一 ２口 ＋６
６＝一时，。。取得。
利用已知条件，显然．
最小值高·２．对图３的完美填法不唯一，如图５所示．
０．由题意知。
口 ＝（一１＋（一１）２
故＝２０首先利用数学归纳法证明：
由于ｏｌ—叭 ＋ 叭一１≥ 叭 ，因此，当图５
图６＝１时结论成立．
对于图４不存在完美填法．这是因为图４中假设１≤ 时，结论成立．则共有ｌｏ条连线，所以，各连线上两数之差的绝对ｎ＋１血＋１—一一６）
值恰为１，２其和。
一２ｌ㈨卜（——十ｌ，０
＝ｆ０一０２ｆ一。
口７一口８ｉ：
一（）叭］＿６
为奇数．另一方面，图４中每个圆圈均有偶数条连线，一。
十。即每个圆圈内的数在上述ｓ的表达式**现偶数２ ０一（ｉ＋
次．因此，５应为偶数，矛盾．
从而，图４中不存在完美填法．
故。杨晓呜。提供）
2023年浙江省高中数学竞赛
年第 期 中图分类号 文献标识码 文章编号。一。选择题 每小题 分，共 分 已知 为虚数单位。则复数 一 一一 一 詈 下列函数中，既是奇函数，又在区间。一 上单调递增的函数为 已知 与易均为单位向量，其夹角为。则命题 口一 是命题 詈，的 条件 充分非必要 必要非充分 充分且必要 非充分也非必要。...
2023年浙江省高中数学竞赛
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2023年浙江省高中数学竞赛试卷
一 选择题 本大题满分36分，每小题6分 1 已知集合，则下列正确的是 ab.cd.解 因为，所以有正确答案为 a。2 当时，则下列大小关系正确的是 a b.c.d.解 当时，又因为。所以。选 c。3 设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为 a b.c.d.解 函数的定义域为。当时，应有，即...