2023年浙江省高中数学竞赛试卷2008.4.13
一、 选择题 （本大题满分36分，每小题6分）
1．已知集合，则下列正确的是（ ）
ab. cd.
解：因为，所以有正确答案为 a。
2．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
a． b.
c. d.
解：当时，，，
又因为。所以。 选 c。
3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（ ）
a．； b.； c.； d.
解：函数的定义域为。当时，应有，即；当时，应有，即。 因此，选 b。
4．已知p为三角形abc内部任一点（不包括边界），且满足，则△abc一定为( )
a．直角三角形；b. 等边三角形；c. 等腰直角三角形；d. 等腰三角形。
解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此选 d。
5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（ ）
a． b. 2 c. d. 4
解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。
因此选 a。
6．圆锥的轴截面sab是边长为2的等边三角形，o为底面中心，m为so的中点，动点p在圆锥底面内（包括圆周）。若am⊥mp，则p点形成的轨迹的长度为（ ）
ab. c. 3d.
解：建立空间直角坐标系。设a(0,-1,0), b(0,1,0), p(x,y,0).于是有由于am⊥mp，所以。
即，此为p点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此选 b。
二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）
解：根据题意要求，，。于是有。因此。
因此答案为 1。
8．设为非负实数，满足，则。
解：显然，由于，有。
于是有，故。
9．设，则。
解：。10. 设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。
解： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则。
于是有，也即有。
故有，即取值范围为。
11．已知，直线与。
的交点在直线上，则。
解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程。
的两个根，即为方程。
的两个根。因此。
即0。12．在边长为1的正三角形abc的边ab、ac上分别取d、e两点，使沿线段de折叠三角形时，顶点a正好落在边bc上。ad的长度的最小值为。
解：设，作△ade关于de的对称图形，a的对称点g落在bc上。在△dgb中，当时，即。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。
于是有a＝5，b＝3。
2） 解法一：设b点坐标为，p点坐标为。于是有。
因为，所以有。
a1 )又因为abp为等腰直角三角形，所以有 ab=ap，即
a2 ) 由（a1）推出，代入（a2），得。
从而有，即（不合题意，舍去）或。
代入椭圆方程，即得动点p的轨迹方程。
解法二： 设，，则以a为圆心，r为半径的圆的参数方程为。
设ab与x轴正方向夹角为，b点的参数表示为。
p点的参数表示为。
从上面两式，得到。
又由于b点在椭圆上，可得。
此即为p点的轨迹方程。
解：（i）情形。此时不等式为。于是有。
因此当时，有；当时，有；
当时，有；当时，空集。
此时有当时，有；当时，有；当时，有；当时。
ii）情形。此时不等式为。于是有。
因此当时，有；当时，有；当时，空集。
因此当时，有；当时，空集。
综合（1）－（4）可得。
当时，有；当时，有；当时，。
解：设非负等差数列的首项为，公差为。
1）因为，所以，，。
从而有。 因为，所以有。于是。
又因为，所以有。
四、附加题（本大题满分50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考b卷的学生选做本大题，不计入总分。）
16．设为2008个整数，且（）。如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2008位数均能被101整除。
解： 根据已知条件，不妨设k＝1，即2008位数被101整除，只要能证明2008位数能被101整除。
事实上，从而有，即有。
因为，所以。 利用上述方法依次类推可以得到。
对一切，2008位数均能被101整除。
17. 将3k（k为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。
解： 分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k。
下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e（其中）。
必要性”的证明： 若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子。如果，则，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数。
矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。
“充分性”的证明：（数学归纳法）
1） 当时，满足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。显然这样的分法是和谐的。
2） 假设时，满足“” 的分法是和谐的。
3） 当时，若，且分法a,b,c,d,e是不和谐的，则分法a－1,b－1,c－1, d, e也是不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知。
因为，所以。
若，则有。这与矛盾。
若，则有，从而有，于是有。
这是不可能的。矛盾。
因此当时，分法a,b,c,d,e是和谐的。
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分，共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...
2023年浙江省高中数学竞赛
年第 期 中图分类号 文献标识码 文章编号。一。选择题 每小题 分，共 分 已知 为虚数单位。则复数 一 一一 一 詈 下列函数中，既是奇函数，又在区间。一 上单调递增的函数为 已知 与易均为单位向量，其夹角为。则命题 口一 是命题 詈，的 条件 充分非必要 必要非充分 充分且必要 非充分也非必要。...
2023年浙江省高中数学竞赛
谢谢你的观赏。通知。各县 市 教育局教研室 有关学校 2016年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办，嘉兴市参赛组织工作由嘉兴市中学数学教学分会负责。现将有关事宜通知如下 1 竞赛时间 2016年4月17日 星期日 上午9 00 11 00。2 参赛对象 1 高二学生参加a组竞赛。适当控制人数 ...