一、 选择题。
1.已知集合，，则＝（
a. b. c. d. 解：
从而可得应选 ｄ。
2. 当时，下面四个函数中最大的是（ ）
a. b. c. d.
解：因为，所以。于是有 ，。又因为，即，所以有 。因此，最大。 应选 ｃ。
3. 已知椭圆上一点ａ到左焦点的距离为，则点ａ到直线的距离为（ ）
a. b. c. d.
解： 设左右焦点为，则，。椭圆的离心率为。而即为右准线，由定义得，ａ到直线的距离等于应选 ｃ。
4.设非常值函数是一个偶函数，它的函数图像关于直线对称，则该函数是 （
a. 非周期函数 b.周期为的周期函数
c. 周期为的周期函数 d. 周期为的周期函数。
解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像关于直线对称，则。
即。故该函数是周期为的周期函数。
应选 ｃ。5. 如果，则使的的取值范围为（ ）
a. b. c. d.
解：显然，且。
要使。当时，，即；当时，，此时无解。
由此可得， 使的的取值范围为。 应选 ｂ
6. 设，则（ ）
a. １bd. ４
解： 作图比较容易得到应选 ｂ
二、 填空题。
7. 已知平面上不共线的四点o,a,b,c。若，则 。
解：因为，所以。于是有 。因此。
答案为： ２
8. 已知数列，，前ｎ项部分和满足，则 。
解： 于是 ，（
答案为： 。
9.方程的解集合为 。
解： 当时，，（取到等号）。
而，（取到等号）。于是有当时，方程只有一个解。由于奇函数的性质，可知是方程的另一解。
故方程的解集合为。
10.今天是星期天，再过天后是星期 。
解： 其中均为正整数。 因此答案为星期六。
11. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有种。
解：若取出的３个数构成递增等比数列 ，则有。由此有。当固定时，使三个数为整数的的个数记作。由，知应是的整数部分。
因此，取法共有答案为 91 。
12. 整数，且，则分别为 。
解：方程两边同乘以８，得。 因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有 ，即。故有。 答案为 。
三、 解答题。
13. 设ｐ，ｑ为圆周上的两动点，且满足与圆内一定点，使，求过ｐ和ｑ的两条切线的交点m的轨迹。
解法一：连接pq，om，由圆的切线性质知，且pq与om交点e为pq的中点。
………5分。
设，则，。从而得到e点的坐标为。
……10分。
由于，所以。又，于是有。
即有。15分。
化简得。上述为以为圆心，为半径的圆周20分。
解法二： 设ｐ，ｑ的坐标为。由题意知，过ｐ，ｑ的切线方程分别为。
5分。由，得。
若①和②的交点仍记为，由此得到。
10分。代入③和④，得。
联立上述两式，即得。
15分。因为，所以，即。
同理可得。于是有。
再由⑤式，推出。
由上可得，即有。
上述为以为圆心，为半径的圆周20分。
当时，也符合题设所求的轨迹。
14. 设，，求的最大值。解：5分。
10分。15分。
当时，上式可以取到等号。故函数的最大值是。
………20分。
15. 设，求证：。
证明：因为，所以有。又，故有。
………10分。
于是有。得证。 …20分。
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分，共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...
2023年浙江省高中数学竞赛
年第 期 中图分类号 文献标识码 文章编号。一。选择题 每小题 分，共 分 已知 为虚数单位。则复数 一 一一 一 詈 下列函数中，既是奇函数，又在区间。一 上单调递增的函数为 已知 与易均为单位向量，其夹角为。则命题 口一 是命题 詈，的 条件 充分非必要 必要非充分 充分且必要 非充分也非必要。...
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谢谢你的观赏。通知。各县 市 教育局教研室 有关学校 2016年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办，嘉兴市参赛组织工作由嘉兴市中学数学教学分会负责。现将有关事宜通知如下 1 竞赛时间 2016年4月17日 星期日 上午9 00 11 00。2 参赛对象 1 高二学生参加a组竞赛。适当控制人数 ...