2023年湖南省高中数学竟赛试题a卷。
一、填空题（每小题8分，共72分）
选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设，若，则将按从小到大的顺序排序排列为
2．已知为常数，若，，则的解集为 ．
3．已知向量，，则的最小值为 ．
4．设为数列{}的前项和，若不等式对任意等差数列{}及任何正整数恒成立，则的最大值为 ．
5．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则可能取值的个数是 ．3
6．已知异面直线成角，为空间中一定点，则过点且与均成角的平面的个数是 ．2
7．有一个1，2，3，…，9的排列，现将其重新排列，则1和2不在原来位置的概率是 ．（答案中可含有排列数表示式）
8．若，则= ．
9．今天（2023年7月19日）是星期五，则天之后是星期 ．四。
二、解答题（共4个小题，共78分）
10．如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形abcd中，m为对角线bd的中点，t为劣弧bc上一点，且ct||db，求证：a、m、t三点共线．
证明：由题设，在圆内接四边形abcd中，ab·cd=bc·da．连结dt、bt、ac．
由ct||db知四边形dbtc为等腰梯形，从而cd=tb,dt=bc．
由ab·cd=bc·da，可知ab·bt=dt·da．
注意到∠abt与∠tda互补，知，，即．
由此可知at过db的中点，故a、m、t三点共线．
11．已知数列{}满足．
1）求数列{}的通项公式；
2）证明：．
解：（1）因为，所以，即．
2)证明：∵
≥()k=1,2,…,n题源（2023年福建卷）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈n)
ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；
ⅱ）若数列满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈n*),证明：是等差数列；
ⅲ）证明： (n∈n*).
12．已知为椭圆上一点．
1）设直线l为过点p的椭圆切线，试求过椭圆焦点f(-c,0)且垂直于l的直线方程；
2）求证：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆．
解：（1）易知直线l的方程为．①
设过焦点f(-c,0)且垂直于l的直线方程为，将f(-c,0)代入方程得，故要求的方程为．②
2）先考察左焦点f(-c,0)在切线上的射影．
由①②联立解得其中．
13．2013个白球和2014个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为0）．
解：将2014个黑球从左至右依次记为，设与之间白球的个数为，左侧的白球的个数为，且记．
用反证法：假设原命题不成立，则．
先考虑，，所以；再考虑，，由于，所以可得，……这与题目共2013个白球矛盾！命题得证．
题源：(2023年中国科技大学自主招生)2008个白球和2009个黑球任意排成一列。求证：必有一个黑球使得他左边的白球和黑球的个数一样多（包括左边有零个白球和另个黑球的情况）．
解答：白球赋值为-1，黑球赋值为1.
记第i球的值为ai,前n个球的标号和为sn.
注意到第一个球为白球，则s1=-1,而s4017=1,则必有j（j为偶数）,使得sj=0，去掉前j个球（一半白球，一半黑球）
回到上述操作，从而只需考虑1个白球和2个黑球的情况，显然成立。
2023年湖南省高中数学竞赛
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