一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。）
1．定义集合运算：.设，，则集合的所有元素之和为。
a．16 b．18 c． 20 d．22
2．已知是等比数列，，则的取值范围是。
a． b． c． d．
3．5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为a． bcd．
4．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的a．必要而不充分条件b．充分而不必要条件。
c．充分而且必要条件d．既不充分又不必要条件。
5．设函数定义在上，给出下述三个命题：
满足条件的函数图象关于点对称；
满足条件的函数图象关于直线对称；
函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称。其中，真命题的个数是。
a．0 b．1 c．2d．3
6．连结球面上两点的线段称为球的弦。 半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点。
③的最大值为5的最小值为1
其中真命题为。
abcd．②③
7．设，，，则的大小关系是。
ab． cd．
8．设函数，且，，则。
a．2b．1c．0d．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分。 请将正确的答案填在横线上。）
9．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为。
若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
10．已知集合，若点、点满足且。
则称点优于。 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为。
11．多项式的展开式在合并同类项后，的系数为用数字作答）
12．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为。
13．将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法。（用数字作答）
14．某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为。
三、解答题（本大题共4小题，共62分。 要求有必要的解答过程。）
15．（本小题满分14分）设实数，求证：
其中等号当且仅当或成立，为正实数。
16．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17．（本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令，求证：
18．（本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结。
（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；
（2）当∥时，定点平分线段。
参***。说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准。 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分。
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。）
1． 解：集合的元素：，，故集合的所有元素之和为16. 选a.
2． 解： 设的公比为，则，进而。
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列。
显然，. 选c.
3． 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种。 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：
第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种。 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为。选d.
4． 解：设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离。 当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即。
选c.
5． 解：用代替中的，得。如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上。
反之亦然，故①是真命题。用代替中的，得。如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题。
由②是真命题，不难推知③也是真命题。故三个命题都是真命题。选d.
6． 解：假设．相交于点，则．共面，所以．．．四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对。显然是对的．①显然是对的。
故选ａ．
7． 解：因为，所以，；
又，故故选b.
8． 解：由，令，则为奇函数且单调递增。
而， ,所以， ,从而，即，故。选d.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分。 请将正确的答案填在横线上。）
9． 解：由条件得 ①
当时，①化为，无解；
当时，①化为，无解；
当时，①化为 ②
若，则，线段长度为１；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．填．
10．解：优于，即位于的左上方，“不存在中的其它点优于”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为。
填．11．解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程。
的不超过去100的自然数解的组数。显然，方程①的自然数解的组数为。
下面求方程①的超过100自然数解的组数。因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设。将方程①化为。
记，则方程的自然数解的组数为。
因此，的系数为。填7651.
12．解：因为底面周长为3，所以底面边长为，底面面积为。
又因为体积为，所以高为。该球的直径为，球的体积。填。
13．解：第一行染2个黑格有种染法。第一行染好后，有如下三种情况：
1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；
3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一．第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定。
因此，共有染法为种。填90.
14．解：令，则。
故是周期为5的函数。
计算可知：；；所以，；…
以上各式叠加，得。
同理可得。所以，第2008棵树的种植点为。填。
三、解答题（本大题共4小题，共62分。 要求有必要的解答过程。）
15．证明：由对称性，不妨设，令，则因，可得。
3分）设，则对求导，得。……6分）
易知，当时，，单调递减；当时，， 单调递增9分）
故在或处有最大值且及两者相等。
故的最大值为，即。……12分）
由，得，其中等号仅当或成立。
14分）16． 解：如果某方以或获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…3分）
乙胜五局的概率为6分）
乙胜四局负一局的概率为9分）
乙胜三局负二局的概率为12分）
以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为………14分）
17．解：（1）因为，所以函数的定义域为，…（2分）
又5分）当时，，即在上是减函数，故。
8分）因为，所以。
12分）又容易证明，所以。
14分）即16分）
18．证明：（1）设．．.则椭圆过点．的切线方程分别为。
3分）因为两切线都过点，则有。
这表明．均在直线 ①上。由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程。……6分）
1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为。
代入①消去得。
对一切恒成立9分）
变形可得。对一切恒成立。故有。
c由此解得直线恒过定点12分）
2）当∥时，由式②知解得。
代入②，得此时的方程为。
将此方程与椭圆方程联立，消去得。
15分）由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即。
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即。
这就是说，点平分线段18分）
2023年湖南省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分，共 分 已知平面内三点 满足。已知函数。口戈 口 则。在区间 内为减函数，在区间 将边长为 的正方形 沿 折成 的二面角 则 的中点与 的距离 一一 内为增函数 则 为。设 是两个集合，称 为一个。有黑 自 黄筷子各 支，不用眼睛看...
2019湖南省高中数学竞赛A卷
2012年湖南省永兴一中高中数学竞赛试卷。一 填空题 本大题共10小题，每小题7分，满分70分 1 已知函数f x x3 ax2 x 1 a r 在区间。2 设a b是两个集合，称 a，b 为一个 对子 当a b时，将 a，b 和 b，a 视为不同的 对子 满足集合aub 的不同对子 a，b 的个数...
2023年湖南省高中数学竞赛试题
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次给分。一 填空题 本大题共10小题，每小题7分，满分70分 1.已知函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，则 2.设是两个集合，称为一个 对子 当时，将与视为不同的 对子 满足条件的不同的对子的个数为。3.设函...