２０１年第４期３ｉ
中圈分类号：ｇ４
文献标识码：ａ
文章编号。一。
填空题（每小题７分，共７０分）
．已知平面内三点ａ、ｂ满足。
．已知函数。
＝ ＋口戈 ＋ 口∈ｒ）
则。在区间（—２内为减函数，在区间９．将边长为４的正方形ａｂｃ沿ｂｄ折成６０。的二面角．则ｂｃ的中点与ａ的距离（一一｝，＋内为增函数．则ｎ：—
为。．设ａ、ｂ是两个集合，称（ａ，为一个。
ｏ．有黑、自、黄筷子各８支，不用眼睛看“对子”．当ａ≠ 时，将（ａ，与（，ａ视为。
任意地取出筷子，使得至少有两双筷子不同。
不同的对子．则满足条件。
色．则至少要取出支筷子才能做。
得到．的不同的对子（，）的个数为。
二、解答题（每小题２ｏ分，共８０分）３．设函数。
１．将抛物线的焦点所在的区域称为抛。
物线的内部．试问：在允许将抛物线平移或旋若 ｔ）则你对函数ｙ＝，在区间转的条件下，平面内２ ０条抛物线的内部。
￡，ｔ中零点存在情形的判断是。
能否盖住整个平面？请作出判断，并证明你。
的结论．．已知椭圆ｃ：冬＋ｙ＝的两个焦点分。
２．设口 ：…一 １
２．设口＝’∑了．．
证明：别为ｆ．、点ｊｐ（满足ｏ＜＋则ｉｉｉ尸 ｉ的取值范围是。
．已知复数 ，满足。
３．（设实数ｔ＞０证明：
为虚数单位），复数的虚部为２。则 ，为实数的条件是。
２）从编号为ｌ一１００的ｌｏ０张卡片中，一。
每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式６．已知数列｛口 ｝满足递推关系式。
连续抽取２０次，设抽得的２ｏ个号码互不相口一ｌ（ｎ同的概率为ｐ．证明：
且ｆｉ竺１‘ｉ为等差数列．则的取值｛——
．过甬数。４．已知由△ａｂ的顶点ａ引出的两条）＝ 一 ｓｉ
射线ａｘ、分别与ｂｃ交于点 、证明：的图像上一点的切线斜率为则的取值成立的充要条件。
范围是。是 ｂａ
２中等数学。
参***。因为一ｉ，所以，－－一ｉ．一。
设ｘ２；口由题设知。
则 ｌ＝一ｉ）（
２ａ＋一口）ｉ．
且 ＝一÷是函数 ）的极值点，即。
因ｚ。ｚ为实数，所以，ｎ＝
故。（一÷）：一号口＋÷＝
．一１．解得口＝２．
注意到，口ｎ＋ｌ口 ＋
一。当集合中没有元素，即ａ＝ 时，集合。
ａ ＋一ｌ＋ｊ口 ＋
中有４个元素，有１种情形；当集合ａ中含。
有个元素时，集合中含２ 一ｌ一｜＝ｌ
有除这ｋ个元素外的另外４一ｋ个元素，集。一。
合ａ中含有的元素集合ｂ中可有可无，共有ｃ：×种情形．
由为常数知｜＝【一１．
综上，共有不同的对子的数目为。
一√３ｃ．存在一个零点．
１—２詈）∈［
因为 ｔ）所以，＝ 的。
．一２５．图像与轴有两个交点ａ、．由条件知上葳则。
设横坐标分别为 、：
曰ｃ＋ｂ由条件得。
ｃａ－十ｂｃ）一ｃａ 一２５．瞪≥
取ｂｄ的中点ｄ．易知，△ａ是边长为故一。
的正三角形．所以，ａｃ
设ｂｃ的中点为在△ａｃ中，有。
从而，函数ｙ＝，在区间（ｔ，中存ａ＝
１（ａ一ｃ２＝
在一个零点．
．［２乏］．
因为１１支筷子中必有一双筷子同色（不。
由０＜＋知点ｐ（ｘ在椭圆。
妨设为黄色），所以，黑色或白色的筷子至少』。
有３支，其中必有一双同色，即同为黑色或白ｃ的内部（含边界）．
色．故ｌ１支筷子保证成功．但如只取ｌ０支筷故。
子，就可能出现８支黄色、黑色和白色各１支５．４
的情形，不符合要求．
０１２年第４期３３
又。二、１１不能．
因为每条抛物线有一条对称轴，所以，至多有２０ｌ条对称轴．
在平面上任作一条不平行于每一条对称。
轴的直线ｚ．于是，直线ｚ和２０１条抛物线至。
多相交得２０１个交点，将直线ｚ截成有限段，其中２条射线不在这些抛物线内部．
故ｐ＜（在（１）的结论中令ｔ＝吉．得。
所以，抛物线不能盖住平面上的直线。
当然不能盖住整个平面．
２．易知，ａ 的表达式共有２ｉｉ项．
分别考虑其前ｋ项的和与后ｋ＋１项的和．则。
了＞丽，ｋ－
、ｋ 一ｋ’
即＜÷＜同理，＜‘
＋②得。丽三＜口。
取ｋ＝２得。
２ ｏ竺－，２
３．（构造函数。
＝ｉｎ一（）
当 ＞０时，／ 在（０，
上为增函数．
所以，ｔ）即ｌｎ（一 ２ｔ
２）由条件知。一。一。
ｑ：：墨。
故ｐ＜．充分性．
若 ｂａ设。
则 ＝嚣。
＝≯一ａｃｙ ｃ一．
同理，＝．×②得。
一。ｃ２一ｃｙｃ
必要性．设。则。
一ｃｙ’而。ｓｉｉ丽。
×④得。ｃ ｓ卢ｓｉｎ一卢一。
因为ａ＋卢兀），所以，ｉｎ一 ）＝卢。
黄仁寿提供）
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