2023年5月19日。
上午8：00-10:00
2023年白鹭洲中学高中数学竞赛。
（ 高二数学试卷 ）
考生注意：1.考试时间120分钟 ，试卷满分120分；
2.用黑色或蓝色笔作答，并将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效；
3.不准使用计算器。
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
2.已知正四棱锥p－abcd的五个顶点在同一个球面上。 若该四棱锥的体积为v，则球的表面积的最小值为。
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为。
4.过椭圆c：上任一点p，作椭圆c的右准线的垂线ph（h为垂足），延长ph到点q，使|hq|=λph|(λ1) ．当点p在椭圆c上运动时，点q的轨迹的离心率的取值范围为。
5.将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．
6．已知，实数满足，用a表示的最大值，则a的最大值为。
7．在平面直角坐标系内，将适合x＜y, |x|＜3, |y|＜3, 且使关于t的方程＝0没有实数根的点所成的集合记为n，则由点集n所成区域的面积为。
8.设cd是直角三角形abc的斜边ad上的高，、分别是△adc、△bdc的内心，ac＝3，bc＝4，则。
二、解答题（本大题共3小题，第9小题16分，第小题每题20分，共56分，解答要求有必要的过程）
9.已知数列的首项，前项和为， 且
1)求数列的通项公式；
2)设函数，是函数的导函数，令求数列的通项公式， 并研究其单调性。
10.点a在直线上，点b在直线上，其中k>0, ,且a,b在y轴同侧，1）求线段ab中点m的轨迹c；
2）曲线c与抛物线相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程。
11．已知定义在上的函数f (x)满足：f (1)＝，且对于任意实数，总有成立。
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）若对于任意非零实数，总有。 设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论。
2023年白鹭洲中学高二数学竞赛答题卡。
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
二、解答题（本大题共3小题，第9小题16分，第小题每题20分，共56分，解答要求有必要的过程）
白鹭洲中学高二数学竞赛参***及评分标准。
3. 依题意知，的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有。
故．4. 设p(x1, y1)，q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以h点的坐标为(3, y)。又∵hq=λph，所以，所以由定比分点公式，可得：
，代入椭圆方程，得q点轨迹为，所以离心率e=.
5.222种．
解：不妨设，
则。解得，
7． 令，原方程化为 ①
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，或。
点集n所成区域为图中阴影部分，其面积为。
8. 作e⊥ab于e， f⊥ab于f.在直角三角形abc中，ac＝3，bc＝4，.又cd⊥ab，由射影定理可得，故，.
因为e为直角三角形acd的内切圆的半径，所以＝.
连接d、d，则d、d分别是∠adc和∠bdc的平分线，所以∠dc＝∠da＝∠dc＝∠db＝45°，故∠d＝90°，所以d⊥d，.
同理，可求得，. 所以＝.
9.解： (1)由得，两式相减得， 可得（）,又由已知，所以，即是一个首项为5,公比的等比数列， 4分。
8分。令则所以作差得。
即。………12分。
而所以作差得。
所以是单调递增数列16分。
11.解：（1）令，，又，.
令，得，即对任意的实数总成立，为偶函数。……5分。
令，得， .
令，得。是以为首项，以为公比的等比数列10分。
2）结论：. 证明：∵时，,，即。
令（），故，总有成立。
则。对于，总有成立。
对于，若，则有成立。……15分，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，则，令，，则。，∴即。
函数为偶函数，∴
20分。
2023年白鹭洲中学高二数学竞赛
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