2010届江苏沛县中学高二数学暑假作业（圆锥曲线部分）
内部资料不得外传）
一、填空题。
1.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为a，若双曲线一条渐近线与直线am垂直，则实数a=
2.已知点p是抛物线上的动点，点p在y轴上的射影是m，点a的坐标是（4，a），则当4时，的最小值是。
3.与直线都相切的半径最小的圆的标准方程是。
4.如图，已知双曲线以长方形abcd的顶点a，b为左、右焦点，且过c，d两顶点．若ab=4，bc=3，则此双曲线的标准方程为。
5.设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为d，点为d内的一个动点，则目标函数的最小值为。
6. 过点和双曲线右焦点的直线方程为。
7．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么。
8. ．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率。
9. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆。
于a、b两点，若，则。
10.已知点p在抛物线上，那么点p到点的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为__
二、解答题（部分题目有难度，可取前两问练习）
1.椭圆c的中心为坐标原点o，焦点在y轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点p（0，m），与椭圆c交于相异两点a、b，且．
1）求椭圆方程；
2）若，求m的取值范围．
1）设c：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝a＝1，b＝c＝，故c的方程为：y2＋＝15′
2）由＝λ，
λ＋1＝4，λ＝3 或o点与p点重合7′
当o点与p点重合=时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。
设l与椭圆c交点为a（x1，y1），b（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*
x1＋x2＝， x1x211′
＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝013′
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立。
即所求m的取值范围为（－1，－）1）∪｛016′
2.在平面直角坐标系xoy中，平行于x轴且过点a的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于b点．圆c过点a且与l1、l2相切．
1）求l2所在的直线的方程和圆c的方程；
2）设p、q分别是直线l和圆c上的动点，求pb+pq的最小值及此时点p的坐标．
ⅰ）直线设．
的倾斜角为，……2分。
反射光线所在的直线方程为。
即．……4分。
已知圆c与。
圆心c在过点d且与垂直的直线上， ①6分。
又圆心c在过点a且与垂直的直线上， ②由①②得，圆c的半径r=3．
故所求圆c的方程为10分。
ⅱ）设点关于的对称点，则12分。
得．固定点q可发现，当共线时，最小，故的最小值为为14分。
得最小值． …16分。
3.已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点m，圆与x轴交于两点（如图）．
i）过m点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
ii）求以l为准线，中心在原点，且与圆o恰有两个公共点的椭圆方程；
iii）过m点作直线与圆相切于点n,设（ii）中椭圆的两个焦点分别为f1,f2,求三角形面积。
解：（i）为圆周的点到直线的距离为。
设的方程为的方程为…5分。
ii）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆o恰有两个不同的公共点，则或7分。
当时，所求椭圆方程为；当时，
所求椭圆方程为1１分。
iii）设切点为n，则由题意得，在中，，则，n点的坐标为，……1２分。
若椭圆为其焦点f1,f2
分别为点a,b故，若椭圆为，其焦点为，此时1６分。
4. 设椭圆的左焦点为f，上顶点为a，过点a且与af垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线af平行。
1)求椭圆的离心率；
2)设入射光线与右准线的交点为b，过a，b，f三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程。
解⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为， …2分。
即，所以，所以椭圆的离心率为． …6分。
由⑴知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径8分。
因为过三点的圆恰好与直线相切10分。
所以圆心到直线的距离等于半径，即，得， 14分。
所以，所以椭圆的方程为16分。
5. 已知圆o的方程为且与圆o相切。
1）求直线的方程；
2）设圆o与x轴交与p,q两点，m是圆o上异于p,q的任意一点，过点a且与x轴垂直的直线为，直线pm交直线于点，直线qm交直线于点。求证：以为直径的圆c总过定点，并求出定点坐标。
1）∵直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即2分。
则圆心到直线的距离为，解得，直线的方程为，即4分。
2）对于圆方程，令，得，即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为。
解方程组，得同理可得，……10分。
以为直径的圆的方程为，
又，∴整理得12分。
若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为14分。
6.已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于。
１）求证：当与垂直时，必过圆心；
２）当时，求直线的方程；
３）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
１）∵与垂直，且，∴，故直线方程为，即………2分。
圆心坐标（0，3）满足直线方程，当与垂直时，必过圆心………4分。
２）①当直线与轴垂直时， 易知符合题意………6分。
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，8分。
则由，得， ∴直线：.
故直线的方程为或10分。
３）∵12分。
1 当与轴垂直时，易得，则，又，14分。
当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）,则。
综上所述，与直线的斜率无关，且。……16分。
本题还有其它解法，请同学们思考）
7. 设分别是椭圆c：的左右焦点。
1)设椭圆c上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆c的方程和焦点坐标。
2)设k是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点b的轨迹方程。
3)设点p是椭圆c 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于m，n两点，当直线pm ，pn的斜率都存在，并记为试**的值是否与点p及直线l有关，并证明你的结论。
解：（1）由于点在椭圆上，
椭圆c的方程为
焦点坐标分别为（-1，0） ，1，0）
2）设的中点为b（x, y）则点。
把k的坐标代入椭圆中得。
线段的中点b的轨迹方程为。
3）过原点的直线l与椭圆相交的两点m，n关于坐标原点对称
设11分 得。
故：的值与点p的位置无关，同时与直线l无关，8. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在第二象限，半径为且与直线相切于原点。椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为。
1)求圆的方程；
2)圆上是否存在点，使关于直线为圆心，为椭圆右焦点)对称，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)由题意知：圆心(2,2)，半径，圆c：
(2)由条件可知，椭圆，解法1)若存在，直线cf的方程的方程为即。
设q(x , y),则，解得，所以存在点q，q的坐标为。
解法2)由条件知of=qf，设q(x , y)，则， 解得，所以存在点q，q的坐标为。
9. 过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于a，b两点。
（1）用表示a，b之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，并求出这个值。
解：（1）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是。
由。（ 或)
∴的大小是与无关的定值， 。
10. 如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，m、n是椭圆右准线上的两个动点，且。
1）设c是以mn为直径的圆，试判断原点o与圆c的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，mn的最小值为，求椭圆方程。
解：（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，则其右准线方程为x＝，且f1(－c, 0), f2(c, 0).
设m，则＝因为，所以，即。
于是，故∠mon为锐角。
所以原点o在圆c外。
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