白鹭洲中学2012届高中数学竞赛培训试题（24）
班级姓名。1．设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是。
2．已知正项等比数列若存在两项、使得，则的最小值为。
3.设是五个不同的正整数，其中有且只有一个是偶数，若方程有大于的整数解，则的末尾数字是。
4． 设则关于的方程的所有实数解之和为
5．设是定义在r上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是。
6. 对于都有，且。
则正整数的最小值为。
7．有一木质实心正方体，点、q、r分别在ab、ad、aa1上，且，（0＜＜）沿着△pqr为底面的正三棱柱的侧面将这个正方体挖去一个通孔，得到的有孔多面体的体积与原正方体体积之比为。
8．函数对任意非负实数满足，且。
则。9．已知数列的首项是项和为。
（1）设的通项公式；
2）设若存在常数k，使不等式恒成立，求k的最小值．
10．定义区间，，，的长度均为，其中．
1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
2)已知向量，，记+b, 关于的不等式的解集构成的各区间的长度和超过，求实数b的取值范围；
3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为，求实数的取值范围。
11．是直角三角形斜边上的高，（）分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点。证明：分别是的内心与旁心．
白鹭洲中学2012届高中数学竞赛培训试题（24）答案。
1．设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是
2．已知正项等比数列若存在两项、使得，则的最小值为。
a． b． c． d．不存在。
3.设是五个不同的正整数，其中有且只有一个是偶数，若方程有大于的整数解，则的末尾数字是（ ）
].2 b.3 c.4 d.8
4． 设则关于的方程的所有实数解之和为
5．设是定义在r上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是。
a．（1，2） b． c． d．
6. 对于都有，且。
则正整数的最小值为2012
7．有一木质实心正方体，点、q、r分别在ab、ad、aa1上，且，（0＜＜）沿着△pqr为底面的正三棱柱的侧面将这个正方体挖去一个通孔，得到的有孔多面体的体积与原正方体体积之比为。
7．设正方体的棱长为1，则体对角线，考虑正方体中平等于△pqr的截面可知，被挖去部分可分为三段：
1） 顶点a处的三棱锥a-pqr，高。
2） 顶点c1处是三棱锥c1-p’q’r’被挖去中心部分(由底面的三条中位线处作垂直面截去)
p1q1r1≌△pqr，所以c1p=c1q=c1r=2，三棱锥c1-p’q’r’的高挖去中心后剩下三个小三棱锥的高是，底面积为△p’q’r’面积的，所以挖去的体积为：
3） 中间的部分是正三棱柱，它的高，因此新多面体与原正方体的体积之比为，
8．函数对任意非负实数满足，且。
则。解：令，得；再令得；令得；
令得；令得；令得；令得。
9．已知数列的首项是项和为。
（1）设的通项公式；
2）设若存在常数k，使不等式恒成立，求k的最小值。
10．定义区间，，，的长度均为，其中．
1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
2)已知向量，，记+b, 关于的不等式的解集构成的各区间的长度和超过，求实数b的取值范围；
3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为，求实数的取值范围。
解：（1）时不合题意； 时，方程的两根设为、，则，，由题意知。
解得或（舍）， 所以。2）因为。
设，原不等式等价于“，”
因为函数的最小正周期为，的长度恰为函数的一个正周期，所以当时，，的解集构成的各区间的长度和超过，即的取值范围为。
3）不等式的解集，设不等式的解集为，不等式组的解集为不等式等价于。
所以，，不等式组的解集的各区间长度和为，所以不等式组，当时，恒成立。
当时，不等式恒成立，得； 当时，不等式恒成立，即恒成立 ； 当时，的取值范围为，所以实数综上所述，的取值范围为。
11．是直角三角形斜边上的高，（）分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心．
证：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由。
所以∽，得，且，故∽，而，注意，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，所以平分；
同理得平分，即是的内心，是的旁心．
证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知， 所以，于是四点共圆，所以。
又因，因此点在上，即为与的交点．设与交于另一点，而由，可知，分别为的中点，所以，因此，点分别为的内心与旁心．
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