一、 选择题 (本大题满分36分,每小题6分)
1.已知集合,则下列正确的是( )
ab. cd.
解:因为,所以有正确答案为 a。
2.当时,,则下列大小关系正确的是( )
a. b.
c. d.
解:当时,,,
又因为。所以。 选 c。
3.设在上有定义,要使函数有定义,则a的取值范围为( )
a.; b.; c.; d.
解:函数的定义域为。当时,应有,即;当时,应有,即。 因此,选 b。
4.已知p为三角形abc内部任一点(不包括边界),且满足,则△abc一定为( )
a.直角三角形;b. 等边三角形;c. 等腰直角三角形;d. 等腰三角形。
解:因为,所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此选 d。
5.已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
a. b. 2 c. d. 4
解:由已知条件可知,,函数图象与轴交点的纵坐标为。令,则。
因此选 a。
6.圆锥的轴截面sab是边长为2的等边三角形,o为底面中心,m为so的中点,动点p在圆锥底面内(包括圆周)。若am⊥mp,则p点形成的轨迹的长度为( )
ab. c. 3d.
解:建立空间直角坐标系。设a(0,-1,0), b(0,1,0), p(x,y,0).于是有由于am⊥mp,所以。
即,此为p点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为。 因此选 b。
二、填空题 (本题满分54分,每小题9分)
解:根据题意要求,,。于是有。因此。
因此答案为 1。
8.设为非负实数,满足,则。
解:显然,由于,有。
于是有,故。
9.设,则。
解:。10. 设实系数一元二次方程有两个相异实根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是。
解: 根据题意,设两个相异的实根为,且,则。
于是有,也即有。
故有,即取值范围为。
11.已知,直线与。
的交点在直线上,则。
解:由已知可知,可设两直线的交点为,且为方程。
的两个根,即为方程。
的两个根。因此。
即0。12.在边长为1的正三角形abc的边ab、ac上分别取d、e两点,使沿线段de折叠三角形时,顶点a正好落在边bc上。ad的长度的最小值为。
解:设,作△ade关于de的对称图形,a的对称点g落在bc上。在△dgb中,当时,即。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
解:(1)设c为椭圆的焦半径,则。
于是有a=5,b=3。
2) 解法一:设b点坐标为,p点坐标为。于是有。
因为,所以有。
a1 )又因为abp为等腰直角三角形,所以有 ab=ap,即
a2 ) 由(a1)推出,代入(a2),得。
从而有,即(不合题意,舍去)或。
代入椭圆方程,即得动点p的轨迹方程。
解法二: 设,,则以a为圆心,r为半径的圆的参数方程为。
设ab与x轴正方向夹角为,b点的参数表示为。
p点的参数表示为。
从上面两式,得到。
又由于b点在椭圆上,可得。
此即为p点的轨迹方程。
解:(i)情形。此时不等式为。于是有。
因此当时,有;当时,有;
当时,有;当时,空集。
此时有当时,有;当时,有;当时,有;当时。
ii)情形。此时不等式为。于是有。
因此当时,有;当时,有;当时,空集。
因此当时,有;当时,空集。
综合(1)-(4)可得。
当时,有;当时,有;当时,。
解:设非负等差数列的首项为,公差为。
1)因为,所以,,。
从而有。 因为,所以有。于是。
又因为,所以有。
四、附加题(本大题满分50分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。选考b卷的学生选做本大题,不计入总分。)
16.设为2008个整数,且()。如果存在某个,使得2008位数被101整除,试证明:对一切,2008位数均能被101整除。
解: 根据已知条件,不妨设k=1,即2008位数被101整除,只要能证明2008位数能被101整除。
事实上,从而有,即有。
因为,所以。 利用上述方法依次类推可以得到。
对一切,2008位数均能被101整除。
17. 将3k(k为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。
解: 分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k。
下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e(其中)。
必要性”的证明: 若分法是和谐的,则把a所对应的石子取完至少要取a次,这a次每次都要取走3个石子。如果,则,即把a所对应的一堆取完时,需取走的石子多于五堆石子的总数。
矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。
“充分性”的证明:(数学归纳法)
1) 当时,满足“” 的分法只能是1,1,1,0,0。显然这样的分法是和谐的。
2) 假设时,满足“” 的分法是和谐的。
3) 当时,若,且分法a,b,c,d,e是不和谐的,则分法a-1,b-1,c-1, d, e也是不和谐的。由(2)及必要性的证明,可知。
因为,所以。
若,则有。这与矛盾。
若,则有,从而有,于是有。
这是不可能的。矛盾。
因此当时,分法a,b,c,d,e是和谐的。
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分,共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...
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谢谢你的观赏。通知。各县 市 教育局教研室 有关学校 2016年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办,嘉兴市参赛组织工作由嘉兴市中学数学教学分会负责。现将有关事宜通知如下 1 竞赛时间 2016年4月17日 星期日 上午9 00 11 00。2 参赛对象 1 高二学生参加a组竞赛。适当控制人数 ...