2023年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷。
说明】解答本试卷不得使用计算器。
一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．已知恒等式。
则用a1、a2、a3、a4来表示b3，有= b3
2．有一个19×19的正方形棋盘，从中任取2条水平线，2条垂线，围成的图形恰好是正方。
形的概率是。
3．一条长为4的线段ab在x轴正半轴上移动，另一条长为2的线段cd在y轴正半轴上移。
动，如果两条线段的4个端点a、b、c、d四点共圆，那么这个圆的圆心的轨迹是
4．已知a，b是实数，n是正整数，则函数的最大值是 。
5．如图，正方形abcd所在平面与正方形abef所在平面构成45°的二面角，则异面直线。
ac与bf所成角的大小为。
6．数列，则它的前n项和。
为。7．直角坐标平面上4个点a（1，2），b（3，1），c（2，3），d（4，0）到直线的距。
离的平方和为s，当k变化，s的最小值为。
8．正整数n使得集合 的每一个n元子集都有2个元素（可以相同），它。
们的和是2的正整数幂，则n的最小值是。
二、解答题（共60分）
9．（本题满分14分）已知数列的通项为：把此数列中所有的3的倍数依次取出，构成一个新的数列求数列求数列的前2m项和b2m。
10．（题满分14分）△abc中，bc=a，ca=b，以边ab为一边长向外作正方体abef，o为正方形abef的中心，m，n分别为边bc、ca的中点。当∠bca变化时，求om+on的最大值。
11．（本题满分16分）用a（n，k）表示集合的不含连续整数的k元子集的个数，求a（n，k）。
12．（本题满分16分）在直角坐标系平面上，若一个点的纵、横坐标都是有理数，则称它为有理点，求满足如下条件的最小正整数k；每一个圆周上含有k个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点。
2023年上海市高中数学竞赛 新知杯
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