一、选择题。
1、若点p（x，y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x，y）=的最小值等于（ ）
（abcd）
2、满足的正整数数对（x，y）（
（a）只有一对 （b）恰有有两对 （c）至少有三对 （d）不存在。
3、设集合m=，n=，映射f：mn使对任意的x∈m，都有是奇数，则这样的映射f的个数是（ ）
（a）45b）27c）15d）11
4、设方程所表示的曲线是（ ）
（a）双曲线b）焦点在x轴上的椭圆。
（c）焦点在y轴上的椭圆 （d）以上答案都不正确。
5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
（a）100b）120c）160d）200
6、函数与有相同的定义域，且对定义域中的任何，有。若的解集是，则函数是（ ）
a、奇函数b、偶函数。
c、既是奇函数又是偶函数d、既不是奇函数又不是偶函数。
二、填空题。
7、边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形共有个。
8、已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且，则方程组的解（x，y，z
9、已知关于x的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是。
10、设平面上的向量满足关系，又设与的模为1，且互相垂直，则与的夹角为。
11、设函数，则函数的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是。
12、若正整数n恰有4个正约数，则称n为奇异数，例如6，8，10都是奇异数，那么在27，42，69，111，125，137，343，899，3599，7999这10个正整数中奇异数有个。
三、解答题。
13、已知△abc的三边长分别为a、b、c，且满足abc=
1）是否存在边长均为整数的△abc？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。
2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△abc周长的最小值。
14、已知椭圆过定点a（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为b、c。现有以a为焦点，过点b、c且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为m（m，0）。当椭圆的离心率e满足时，求实数m的取值范围。
数学竞赛训练讲义参***。
1．（a）解：
=，等号当且仅当，即时成立，故f（x，y）的最小值是。
2、（b）解：设，其中a，b均为自然数，则y=a+b，。因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且b+a>b-a,所以或解得或。
3、（a）解：当x=-2时，x+f（x）+xf（x）=-2-f（-2）为奇数，则f（-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f（x）+xf（x）=f（0）为奇数，则f（0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f（x）+xf（x）=1+2f（1）为奇数，则f（1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。
4、（c）解：
于是，，同理。
因为，故应选（c）
5、（a）解：设三位数是，则+。
若不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以=11，13，15，17。
因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有种可能；
因13=9+4=8+5=7+6，所以取值有种可能；
因15=9+6=8+7，所以取值有种可能；
因17=9+8，所以取值有种可能；
由于不能进位，所以只能取0，1，2，3，4。
因此，满足条件的数共有：5（++100（个）
6、（b）解：由猜想：
。由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）
于是，当n>1时，
故。因此，应选(b)
解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x得，即。
所以， （3）
或 ， 4）
由（1）、（3）得，即x：y：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20，y=60，z=100；
由（1）（4），得x=-y=-z，与已知条件矛盾。
8．{m|-1 解：易知方程的两根为。
当，即时，方程有两个共轭的虚根，且的实部为，这时在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。
当，即或时，方程有两个不等的实根，则对应的点在以对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为。
即，将及对应点的坐标（1，±1）代入方程，即得。
故m的取值范围是{m|-19、
解：由已知，得，设与的夹角为，则，所以=
解：函数的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为。
解：当aq=x时，设gq与面bde交于。
点n，作nm⊥bd于点m，联结qm交直。
线bc于点，取点为点p，知此时。
y=|mn|最小。
建立如图1的空间直角坐标系，则q（0，x，1）且△bde所在平面上的点（x，y，z）满足x+y=z，故可令。
由点n在qg上，知在（0，1）内存在λ使qn=λqg。
代入消去λ得。
从而， 于是，
而点m在bd上，故可令。
由，知。于是，
解：设，则，且，所以。
13解：（1）不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2。
若c≥5，这时。
由，可得。矛盾。
故c只可能取2，3，4。
当c=2时，，有。
又a≥b≥2，故无解。
当c=3时，，即。
又a≥b≥3，故。
或或。解得或或。
能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。
当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。
能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。
故存在三边长均为整数的△abc，其三边长分别为4，5，6或3，7，8
2）由，可得。
所以， 又，则有。
故△abc的周长最小值为，当且仅当时，取得此最小值。
14. 解：椭圆过定点a（1，0），则a=1，c=，∴由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=－x（x≥0）的交点。
解方程组，得，∴
设抛物线方程为：
又∵，∴得。
令。内有根且单调递增。故。
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