2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.函数的图像按向量平移后，得到的图像的解析式为。那么的解析式为（）
2．如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有（）个。
3．设，那么的最小值是（）
4.设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（）
不存在只有1个恰有4个有无数多个。
5.设数列，则被64除的余数为。
6.一条走廊宽2，长8，用6中颜色的的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多），要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有（）个。
二、 填空题（本题满分36分，每小题6分）
7.设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量。
8. 设无穷数列在各项都是正数，是它前项之和，对于任意正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，则该数列的通项公式为。
9. 函数的最小值为。
10.在长方体中，，点分别是棱与的中点，那么四面体的体积是。
11.由三个数组成的5位数中都至少出现1次，这样的5位数共有个。
12.已知平面上两个点集，。若，则的取值范围是。
三、解答题（第13题、第14题各15分；第15题、第16题各24分）
13.已知点是的中线，上的一点，直线交边于点，且是的外接圆切线，设，试求（用表示）。
14.求所有使得下列命题成立的正整数对于任意实数，当时，总有（其中）。
15.设椭圆方程为，线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦，若在左焦点上存在点，使得为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围，并用表示直线的斜率。
16．（1）若个棱长为正整数的正方形的体积之和等于2005，求的最小值，并说明理由；
（2）若个棱长为正整数的正方形的体积之和等于，求的最小值，并说明理由；
高中数学竞赛
高一思维训练班。集合部分。例1 集合a，b是i 的子集，1 若，求有序集合对 a，b 的个数 2 求i的非空真子集的个数。例2 给定集合的个子集 满足任何两个子集的交集非空，并且再添加i的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。例3 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。例4 s...
高中数学竞赛答案
1.过椭圆c 外一点。a m，0 作一直线l交椭圆于p q两点，又q关于x轴对称点为，连结交x轴于点b。1 若，求证 2 求证 点b为一定点。20 设分别为椭圆的左 右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。求椭圆的方程 设为右准线上不同于点 4，0 的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点...
高中数学竞赛答案
1.已知椭圆c 1 a b 0 经过点 0,1 离心率e 1 求椭圆c的方程 2 在椭圆c上任取不同两点a，b，点a关于x轴的对称点为a 当a，b变化时，如果直线ab经过x轴上的定点 1,0 问直线a b是否也经过x轴上的一个定点？若是，求出这个定点的坐标 若不是，说明理由 解答 1 依题意可得解得...