1.已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)经过点(0,1)，离心率e＝.
1)求椭圆c的方程；
2)在椭圆c上任取不同两点a，b，点a关于x轴的对称点为a′，当a，b变化时，如果直线ab经过x轴上的定点(1,0)，问直线a′b是否也经过x轴上的一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，说明理由．
解答】 (1)依题意可得解得a＝2，b＝1.
所以椭圆c的方程是＋y2＝1.
(2)设直线ab：x＝my＋1，由。
得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.
记a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，特别地，令y1＝－1，则x1＝0，m＝1，y2＝，此时a′(0,1)，b，直线a′b：x＋4y－4＝0与x轴的交点为s(4,0)，若直线a′b与x轴交于一个定点，则定点只能为s(4,0)．
以下证明对于任意的m，直线a′b与x轴交于定点s(4,0)．
事实上，当m≠0时，经过点a′(x1，－y1)，b(x2，y2)的直线方程为＝.令y＝0，得x＝y1＋x1.只需证明y1＋x1＝4，即证＋my1－3＝0，即证2my1y2－3(y1＋y2)＝0.
因为2my1y2－3(y1＋y2)＝－0，所以2my1y2－3(y1＋y2)＝0成立．
当m＝0时，直线ab：x＝1，此时a′，b重合，经过a′，b的直线有无数条，当然可以有一条经过点s(4,0)的直线．
当直线ab为x轴时，直线a′b就是直线ab，即x轴，这条直线也经过点s(4,0)．
综上所述，点a，b不论如何变化，直线a′b与x轴交于点s(4,0)．
1.过椭圆c：外一点a（m，0）作一直线l交椭圆于p、q两点，又q关于x轴对称点为，连结交x轴于点b。
1）若，求证：；（2）求证：点b为一定点。
证明：（1）连结，因为q与关于x轴对称，而a在x轴上，则在中，ab平分， 由内角平分线定理可知：，而，∵同向，故且，则，又p、b、在同一直线且与同向， 于是有： =
2）设过a（m，0）的直线l与椭圆c：
与q关于x轴对称，则， 由及相减得，∴，pq直线方程：，而pq过a（m，0），则有：
而，同理可求得：。
下面利用分析法证明：。
即证： …只需证：
只需证：，即证： …
而（，）在椭圆上，则 ……
同理 ……由③×④可知②成立，从而①式得证。因此成立。∴。
点b为一定点（，0）。 14分）
另法：证（1）设直线l过a（m，0）与椭圆交于，而与q关于x轴对称，则，由，则，∴=6分）
2）由，则 ……由=，则 ……
由①×②得 ……又 ……
由④-⑤得 ，
由③⑥可知 。 点b为一定点（，0）。 14分）
2．设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
ⅰ）、求椭圆的方程；
ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。
3）直线过定点。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（ⅰ依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.
故椭圆的方程为。
ⅱ）解法1：由（ⅰ）得a（－2，0），b（2，0）.设m（x0，y0）.
m点在椭圆上，∴y0＝（4－x02
又点m异于顶点a、b，∴－2从而＝（x0－2，y0），＝2，）.
·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入，化简得·＝（2－x0）.
2－x0>0，∴·0，则∠mbp为锐角，从而∠mbn为钝角，故点b在以mn为直径的圆内。
2010江苏卷）3.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为a、b，右焦点为f。设过点t（）的直线ta、tb与椭圆分别交于点m、，其中m>0,。
1）设动点p满足，求点p的轨迹；
2）设，求点t的坐标；
3）设，求证：直线mn必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和**问题的能力。满分16分。
1）设点p（x，y），则：f（2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。
由，得化简得。
故所求点p的轨迹为直线。
2）将分别代入椭圆方程，以及得：m（2，）、n（，）
直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。
联立方程组，解得：，所以点t的坐标为。
3）点t的坐标为。
直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。
方法一）当时，直线mn方程为：
令，解得：。此时必过点d（1，0）；
当时，直线mn方程为：，与x轴交点为d（1，0）。
所以直线mn必过x轴上的一定点d（1，0）。
方法二）若，则由及，得，此时直线mn的方程为，过点d（1，0）。
若，则，直线md的斜率，直线nd的斜率，得，所以直线mn过d点。
因此，直线mn必过轴上的点（1，0）。
高中数学竞赛答案
1.过椭圆c 外一点。a m，0 作一直线l交椭圆于p q两点，又q关于x轴对称点为，连结交x轴于点b。1 若，求证 2 求证 点b为一定点。20 设分别为椭圆的左 右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。求椭圆的方程 设为右准线上不同于点 4，0 的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点...
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