校本课程数学竞赛讲义

惠东中学校本课程。

—数学竞赛讲义。

惠东县惠东中学数学科组。

目录。第一章集合2

第二章函数15

2.1 函数及其性质………15

2.2 二次函数21

2.3 函数迭代28

2.4 抽象函数32

第三章数列37

3.1 等差数列与等比数列………37

3.2 递归数列通项公式的求法 ……44

3.3 递推法解题48

第四章三角平面向量复数………51

第五章直线、圆、圆锥曲线………60

第六章空间向量简单几何体………68

第七章二项式定理与多项式………75

第八章联赛二试选讲82

8.1 平几名定理、名题与竞赛题 ……82

8.2 数学归纳法99

8.3 排序不等式103

第一章集合。

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础。它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用。

在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述。集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛**现的问题。

1.1 集合的概念与运算。

基础知识】一．集合的有关概念。

1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合。组成集合的对象叫做这个集合的元素。

2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

3．集合的分类：无限集、有限集、空集。

4. 集合间的关系：

二．集合的运算。

1．交集、并集、补集和差集。

差集：记a、b是两个集合，则所有属于a且不属于b的元素构成的集合记作。即且。

2.集合的运算性质。

1), 幂等律);

2), 交换律);

3), 结合律);

4), 分配律);

5), 吸收律);

6) (对合律);

7), 摩根律)

3.集合的相等。

1)两个集合中元素相同，即两个集合中各元素对应相等；

2)利用定义，证明两个集合互为子集；

3)若用描述法表示集合，则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价；

4)对于有限个元素的集合，则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件。

典例精析】例1】在集合中，任意取出一个子集，计算它的各元素之和。则所有子集的元素之和是。

分析〗已知的所有的子集共有个。而对于，显然中包含的子集与集合的子集个数相等。这就说明在集合的所有子集中一共出现次，即对所有的求和，可得。

解】集合的所有子集的元素之和为。

说明〗本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等。这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛。

例2】已知集合且，求参数的取值范围。

分析〗首先确定集合a、b,再利用的关系进行分类讨论。

解】由已知易求得。

当时， ,由知无解；

当时， ,显然无解；

当时， ,由解得。

综上知，参数的取值范围是。

说明〗本题中，集合的定义是一个二次三项式，那么寻于集合b要分类讨论使其取值范围数字化，才能通过条件求出参数的取值范围。

例3】已知，集合。若，则的值是( )

a.5b.4c.25d.10

解】, 且及集合中元素的互异性知。

即，此时应有。

而，从而在集合b中，

由，得。由(2)(3)解得，代入(1)式知也满足(1)式。

说明〗本题主要考查集合相等的的概念，如果两个集合中的元素个数相等，那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等。而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键。

例4】已知集合。若，求……+的值。

分析〗从集合a=b的关系入手，则易于解决。

解】, 根据元素的互异性，由b知。

且， ,故只有，从而。

又由及，得。

所以或，其中与元素的互异性矛盾！

所以代入得：

说明〗本题是例4的拓展，也是考查集合相等的概念，所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件，即两个集合相等，则两个集合中，各元素之和、各元素之积及元素个数相等。这是解决本题的关键。

例5】已知a为有限集，且，满足集合a中的所有元素之和与所有元素之积相等，写出所有这样的集合a.

解】设集合a=且，由，得，即。

或(事实上，当时，有。

当时， ,而。

当时， ,由，解得。

综上可知，

说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式，从而求得集合a.在解决问题时，应注意分析题设条件中所给出的信息，根据条件建立方程或不等式进行求解。

例6】已知集合，若，求实数的取值组成的集合a.

解】,设。当，即时， ,满足；

当，即或时，若，则，不满足，故舍去；

若时，则，满足。

当时，满足等价于方程的根介于1和2之间。

即。综合得，即所求集合a.

说明〗先讨论特殊情形(s=),再讨论一般情形。解决本题的关键在于对分类讨论，确定的取值范围。本题可以利用数形结合的方法讨论。

例7】(2023年江苏预赛)已知平面上两个点集r},

r}. 若，则的取值范围是。

解】由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集(如图)．

考察时，的取值范围：

令，代入方程，得，解出得．所以，当时。

令，代入方程 , 得。解出得。

所以，当时。

因此，综合 ③ 与 ④ 可知，当，即时，

故填。例8】已知集合， ,其中，若，.且中的所有元素之和为124,求集合a、b.

解】,且，又，所以。

又，可得，并且或。

若，即，则有解得或(舍)

此时有。若，即，此时应有，则中的所有元素之和为100124.不合题意。

综上可得，

说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合a、b中元素的特征。同时上述解答中使用发分类讨论的思想。分类讨论是我们解决问题的基本手段之一，将问题分为多个部分，每一部分的难度比整体都要低，这样就使问题变得简单明了。

例9】满足条件的函数形成了一个集合m,其中，并且，求函数与集合m的关系。

分析〗求函数集合m的关系，即求该函数是否属于集合m,也就是判断该函数是否满足集合m的属性。

解】取时，

由此可见，

说明〗本题中m是一个关于函数的集合。判断一个函数是否属于m,只要找至一个或几个特殊的使得不符合m中的条件即可证明。

例10】对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”是5等等。试求a的所有的“交替和”的总和。

并针对于集合求出所有的“交替和”.

分析〗集合a的非空子集共有个，显然，要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的。必须分析“交替和”的特点，故可采用从一般到特殊的方法。如的非空子集共有15个，共“交替和”分别为：

1; 2 ; 3; 4; 2-1; 3-1;

1,3,4} 4-3=1; 4-3+2; 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现，除以外，可以把的子集分为两类：一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应：

设是中一个不含有的子集，令与相对应，显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对，再加上的“交替和”为4,即的所有子集的“交替和”为32.

解】集合的子集中，除了集合，还有个非空子集。将其分为两类：第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同。

因为如果是第二类的，则必有是第一类的集合；如果是第一类中的集合，则中除2008外，还应用1,2,……2007中的数做其元素，即中去掉2008后不是空集，且是第二类中的。于是把“成对的”集合的“交替和”求出来，都有2008,从而可得a的所有子集的“交替和”为。

同样可以分析，因为个元素集合的子集总数为个(含，定义其“交替和”为0),其中包括最大元素的子集有个，不包括的子集的个数也是个，将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素),设不含的子集“交替和”为s,则对应的含子集的“交替和”为，两者相加和为。故所有子集的“交替和”为。

说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现，这种方法在数学竞赛中是常用的方法，在学习的过程中应注意强化。

例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？

分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为。“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题。被除时都余地，即是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解。

校本课程数学竞赛讲义

高一数学校本课程校本课程

高一数学校本课程校本课程

“趣味数学”校本课程作业

其他用户还读了