2023年福建省高中数学竞赛。
暨2023年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参***。
考试时间：2023年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．已知数列满足，（）则的最小值为。
答案】解答】由，知，，…
上述个等式左右两边分别相加，得。
，又时，；时，。
时，取最小值。
2．对于函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为。已知，，则函数在上的几何平均数。
答案】解答】 ∵当时， 在区间上为增函数，其值域为。
根据函数几何平均数的定义知，。
3．若三个非零且互不相等的实数、、满足，则称、、是调和的；若满足，则称、、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”。
则不同的“好集”的个数为。
答案】 1006
解答】若、、既是调和的，又是等差的，则，，。
即“好集”为形如（）的集合。
由“好集”是集合的三元子集知，，，且。
，，且。符合条件的可取1006个值。
“好集”的个数为1006。
4．已知实数，满足，且，则的最小值为。
答案】解答】由知，。
设，则，当且仅当，即，，时等号成立。
的最小值为27。
5．如图，在四面体中，，是边长为3的等边三角形。若，则四面体外接球的面积为。
答案】解答】如图，设正的中心为，四面体外接球的球心为。则，，。
取中点。由知，，，
于是，。 四面体外接球半径为2，其面积为。
6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为。
答案】解答】设正十边形为。则。
以为底边的梯形有、、共3个。同理分别以、、、为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。
以为底边的梯形有、共2个。同理分别以、、、为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。
以为底边的梯形只有1个。同理分别以、、、为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。
所以，所求的概率。
7．方程在区间内的所有实根之和为符号表示不超过的最大整数）。
答案】 12
解答】设，则对任意实数，。
原方程化为。
若，则，（）
（）结合知，，1，2，3，4，5，6。
经检验，，2，4，6符合要求。
若，则，（）
（）结合知，，，
经检验，，，均不符合要求。
符合条件的为0，2，4，6，它们的和为12。
8．已知为上增函数，且对任意，都有，则。
答案】 10
解答】依题意，为常数。设，则，。
，。易知方程有唯一解。
9．已知集合的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，中每一个数都等于中某两个数（可以相同）的和。则的最小值为符号表示集合中元素的个数）
答案】 10
解答】易知集合符合要求。此时，。
下面说明不符合要求。
假设集合，符合要求。
则，，，由于，因此，，。
同理，由，知，，。
由，知，，。
由，知，，与为整数矛盾。
不符合要求，。同理，也不符合要求。
因此，的最小值为10。
10．已知函数，则函数在区间上的最大值为。
答案】解答】若为有理数，且。设（，）由知，，。
当时，不存在；
当时，存在唯一的，此时，。
当时，设，其中，且，此时。
， 若为有理数，则时，取最大值。
又为无理数，且时，。
综合以上可知，在区间上的最大值为。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为的等差数列（第3行的3个数构成公差为的等差数列；第4行的4个数构成公差为的等差数列，……
1）求数阵中第行、第列的数（用、表示）。
2）求的值；
3）2013是否在该数阵中？并说明理由。
解答】（1）设的公比为。
依题意，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数。5分。
10分。2）由，，知，为数阵中第63行，第60列的数。
15分。3）假设2013为数阵中第行、第列的数。
第行中，最小的数为，最大的数为，由于时，，因此不符合①；
由于时，，因此不符合①；
上述不等式①无正整数解。
2013不在该数阵中20分。
12．已知、为抛物线：上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限。、分别过点、且与抛物线相切，为、的交点。
1）若直线过抛物线的焦点，求证：动点在一条定直线上，并求此直线方程；
2）设、为直线、与直线的交点，求面积的最小值。
解答】（1）设，（）
易知斜率存在，设为，则方程为。
由得。由直线与抛物线相切，知。
于是，，方程为。
同理，方程为。
联立、方程可得点坐标为5分。
，方程为，过抛物线的焦点。
，。点在定直线上10分。
或解：设，，则方程为，方程为。
5分。设，则，。
点，坐标满足方程。
直线方程为。
由直线过点，知。
。点在定直线上10分。
2）由（1）知，、的坐标分别为、。
15分。设（），由知，，当且仅当时等号成立。
设，则。 时，；时，。在区间上为减函数；在区间上为增函数。
时，取最小值。
当，，即，时，面积取最小值。
20分。13．如图，在中，，它的内切圆分别与边、、相切于点、、，连接，与内切圆相交于另一点，连接、、、
1）求证：；
2）若，求证：。
解答】（1）由条件知，，又。
5分。同理，由，知，。
10分。
15分。结合（1）可知，。
又 ， 、、四点共圆。
又 ，20分。
14．已知。
1）求在区间上的最小值；
2）利用函数的性质，求证：（，且）；
3）求证：（，且）。
解答】（1）∵
时，，即在区间上为增函数。
在区间上的最小值为5分。
2）由（1）知，对任意的实数，恒成立。
对任意的正整数，，即恒成立。10分。
，且时15分。
3）由柯西不等式知，结合（2）的结论可知，当，且时，。
20分。15．已知集合。，，为集合中构成等差数列的个元素。求的最大值。
解答】（1）显然1，2，3，4，5，6这6个数在集合中，且构成等差数列。
5分。2）下面证明集合中任意7个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。
设，，，为集合中构成等差数列的7个不同的元素，其公差为，。
由集合中元素的特性知，集合中任意一个元素都不是7的倍数。
由抽屉原理知，，，这7个数中，存在2个数，它们被7除的余数相同，其差能被7整除。设（，）能被7整除。则。
10分。设（为正整数），设（，，为不超过6的正整数）。
则，其中，3，…，7。
， 即公差只能为15分。
，，除以7以后的余数各不相同，分别为1，2，…，6中的一个。
因此，存在，使得能被7整除，设（为正整数）。
则。这样，的7进制表示中，7的系数（即从左到右第2位）为0，与矛盾。
集合中任意7个不同的数都不能构成等差数列。
的最大值为620分。
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