２０１年第７期２３
中圈分类号：ｇ４
文献标识码：ａ
文章编号。一。
填空题（每小题９分，共７２分）
．已知数列｛口 ｝满足。
＋。口。则口的最大值为。
．若ｘ，ｙ均为正整数，且一ｙ 的值恰。
好是由一个２、一个０、两个１组成的四位数，则满足条件的所有四位数是．
．已知口则口６＋６口ｃ的。
值域为。．标号为１，２号共４种颜色的卡片共计５２张，加上两张空白卡片，平均放人三个不同的盒子中．若某个盒子中有两张空。
白卡片，四张１，且２，３号卡片各一。
张，则称该盒是“超级盒”．那么，出现超级盒的概率为。
列出算式即可）．
．已知。口 ＋２口 ＋ｌ一（ｎ＋口 ，当ｍ≥ 时，口的值都能被９整除．则的最小值为．
函数 ）＝兰的图像的对称。
中心为。．六名大学毕业生到三个用人单位应聘．若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情形的种数是。
．设ｄ为坐标原点。
过点ｃ作轴的垂线，是该垂线上的动。
点，以０为圆心、ｏｂ为半径作圆，ｍｔ
是圆的切线．则△埘。
垂心的轨迹方程是。
二、解答题（共７８分）９．分）解不等式。
一。０．（分）如图１，已知ａ、ｂ是ｏ０：
ｙ２＝与轴的两个交点，ｐ为直线ｚ：＝上的动点，ｐａ与ｏ０的另一个交点。
分别为ｍ、ⅳ证明：直线ｂｉｎ过定点．
１．（分）证明：当几≥２３时，总有。＜１十。
成立．２．（分）已知。
＋ ＋一。且 、≥求，），的最小值．
３．（分）（１在△ａｂ中，ｂｃ则类比到三维空间中，你能得到什么结论？请给出证明．
２）在△ａｂ中，ｂｃ若点ｃ到ａｂ的距离为ｈ，△的内切圆半径为，求÷的最小值．
３）将（２）的结论推广到三维空间，并证明之．
４．（分）已知数列｛ａ 满足。
中等数学。ｉ＝２芒），：业。
一ｐ码恰好取一个．
凡∈ｎｐ故超级盒出现的概率是（÷）
１）求数列｛ｂ｝的通项；
２）证明：盟。
注意到， ＋一。
ｎ＋１一ｐ３）设ｓ 是数列｛ａ 的前，ｌ项和，当。一ａ１）
凡＞ｔ２时，ｓ与（ｎ＋嚣）ｐ的大小关系是否确。
故ⅱ＝凸＋∑ａ一ａｉ）
定？请说明理由．
参***。一。
显然，点列（／７排列在一下凸函数中．当点列分布在由点（１，与所决定的直线上时，ａ 取最大值２１．
当 ≥６时，一。
ｉ＞一５ ＞
故 ≤５可验证，只有５ 一４ ＝一组解．
．【一，－】
显然，０６口。
另一方面，口。一。
一。一。
’，仅当ａ＋ｂ且ａ ＋时取等号．
故值域为【一１，１
先考虑一张空白卡片肯定要放人一个盒。
中，第二张也放人该盒子中的概率为寺，４个。
放人该盒子中的概率为（）．以后的过程。
是从剩余的４６张卡片中取出ｌ２张，每个号。
由得。此时，１５能被９整除．
当ｍ＞５时，口＝口５＋∑而后≥６时，！能被９整除，于是，当ｍ≥５时，ａ 能被９整除．
故／／，的最小值是５．６一。
注意到，ｆ（圳。一。
记ｇ（）则。一。
＝：一ｌｕｕ
为奇函数．则ｇ（ｘ的图像关于（一１００对称．故）的图像关于（一对称．
被录用三人的情形有ａ：＝种；
被录用四人的情形有。
６４乙种）；
被录用五人的情形有。
￣（３署ａ；）绷（种）．
六人全部被录取的情形有。
一种）．故共有种．
．（一萼）＋ｙ
以０为圆心、ｏｂ为半径的圆的方程为。
０１２年第７期。
如图２，联结ｏｔｌ设日（，ｙ为△的交点．
（２一 １）
的垂心，ｍ（为ｏｍ与。设。
代入 ＋ｙ一４＝０得。
础＋ｋ２一４＝０由韦达定理得。后２ｒｎ
１２，一４
代人式并整理得。
（ｍ一５ｍ＋
当ｋ＃ｏ或ｍ＝４舍）．
当ｋ＝ｏ时，直线ｍｎ即为直线ａｂ．
所以，直线ｍｎ过点（１，
图２易证，四边形０ 日是菱形．
先证 ＋砉＋．一＋
注意到，一。
则ⅳ（手，手），且ｂ＝ｙ
又ｏｍ上。则。
＿ｊ｝一１故（一萼）＋，萼）（＞
二、９．由题意知。
ｋ√后一ｉ彳一去）（．
一１＞０一１＜１
于是，原不等式同解于。
１一。－＋２卜去）＝３一２＜３再证：¨
＋②得。一１．②
类似可得。厢＞号ｊ ３０．设则。
３詈＝３ｋ一。一。
去 ‘＋故只需，＋２去一）＞２
２．当 ≠ｙ时，题设函数两边同乘以。得。
一。２，一２
（４一 ）４一 ；
一。一），）厂（，ｙ
一ｙ ）一３（ｘ一ｙ ）一ｙ ）
令。则戈，），为ｇ（）图像上。
两点的斜率．
当 ＝ｙ时，＿厂（，ｙ一９ｘ
于是，只需求ｇ（ｘ在 ≥÷上的导函数。
（）＝一９ ＋
的最小值．易求当 ；÷时，）＝一９ ２
的最小值为１．
３．（结论设在四面体ｓ—ａ中，侧棱ｓａ、船、ｓｃ两两垂直（不妨称为空间直角四面体）．则。２口ｃ＝ｉ
证明设ｓａ＝船＝ｂ，
过５作．ｓｄ上ｂｃ于点ｄ，联结ａｄ．由三垂线定理知ａｄ上ｂｃ．
则ｓ（ｃ口）
（ｂ２蕊ｂ２ｃ口）
２）设△ａｂ的内切圆圆心为则。
ｒ≥＾为边ｂｃ上的高）．
而： ｒ故 ｒ，一１
当△ａｂ为等腰直角三角形时，得到最。
小值一１．３）结论。
在空间直角四面体ｓ—ａ
中，若其内切球半径为ｒ，点ｓ到底面ａｂｃ的。
距离为ｈ，则。
音≥．证明设空间直角四面体ｓ—ａ的内切球球心为，＿则。
中等数学。ｉ＋ｒ为ｊ氐回ａｂｃ上的商）．
而 ：西，故音 ４／
当ｓａ：时，得到最小值．
４．（由题设知。
则。一。２）由题设得。
则 ａｎ３）当ｎ≥２时，口 ＋一 ＝—一１一ｐ＝
（≤一 ，ｐ
则。当 ≥３时，一。
≤ （一。贝０ｓ 一口１—０一（一２）ｐ
［ｓ一（ｎ一２）ｐ
０ｓ 一６５
一。ｏ（凡一２）ｐ
ｓ 一口一２ｐ一（ｎ一２ ｐ
一。综上，当 ≥２时，＜（嚣）ｐ．
张生春。提供）
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