(时间:5月18日上午8:30~11:30)
一、 选择题(本大题共6小题,每小题6分,满分36分)
1.函数的图像过点(-1,3),则函数的图像关于轴对称的图形一定过点( )
a (1,-3) b (-1,3) c (-3,-3) d (-3,3)
2.把2008表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( )种.
a 4 b 6 c 8 d 16
3.若函数有最小值,则a的取值范围是( )
a b c d
4.已知则的最小值是( )
a b c 2 d 1
5.已知,则的取值范围是( )
a b c d
6.函数是上的单调递增函数,当时,,且,则的值等于( )
a 1 b 2c 3d 4
二、填空题(本大题共6小题,每小题9分,满分54分)
7.设集合,是s的子集,且满足:,,那么满足条件的子集的个数为。
8.已知数列满足,则。
9.已知坐标平面上三点,是坐标平面上的点,且,则点的轨迹方程为。
10. 在三棱锥中,,,则三棱锥体积的最大值为。
11. 从m个男生,n个女生()中任选2个人当组长,假设事件a表示选出的2个人性别相同,事件b表示选出的2个人性别不同.如果a的概率和b的概率相等,则(m,n)的可能值为。
12.是平面上不共线三点,向量,,设p为线段ab垂直平分线上任意一点,向量.若,,则的值是。
三、解答题(本大题共5小题,每题的解答均要求有推理过程,13小题10分,17小题14分,其余每小题12分,满分60分)
13.是两个不相等的正数,且满足,求所有可能的整数c,使得。
14.如图,斜三棱柱的所有棱长均为,侧面底面,且。
1) 求异面直线与间的距离;
2) 求侧面与底面所成二面角的度数.
15.设向量为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量.若向量, ,且.
1)求满足上述条件的点的轨迹方程;
2)设,问是否存在常数,使得恒成立?证明你的结论.
16.在数列中,,是给定的非零整数,.
1)若,,求;
2)证明:从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
17. 设定义在[0,2]上的函数满足下列条件:
对于,总有,且,;
对于,若,则.
证明:(1)()2)时,.
2023年河北省高中数学竞赛试题参***及评分标准。
时间:5月18日上午8:30~11:30)
一、 选择题(本大题共6小题,每小题6分,满分36分)
1.函数的图像过点(-1,3),则函数的图像关于轴对称的图形一定过点( )
a (1,-3) b (-1,3) c (-3,-3) d (-3,3)
答案:b.2.把2008表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( )种.
a 4 b 6 c 8 d 16
答案:c.解: 设,即.2008有8个正因数,分别为1,2,4,8,251,502,1004,2008.而且与只能同为偶数,因此对应的方程组为。
故共有8组不同的值:;.
3.若函数有最小值,则a的取值范围是( )
a b c d
答案:c.解:当时,是递减函数,由于没有最大值,所以没有最小值;当时,有最小值等价于有大于0的最小值.这等价于,因此.
4.已知则的最小值是( )
a b c 2 d 1
答案:a.解:记,则, ,当且仅当时取等号).故选a.
5.已知,则的取值范围是( )
a b c d
答案:d.解:设,易得,即.由于,所以,解得.
6.函数是上的单调递增函数,当时,,且,则的值等于( )
a 1 b 2c 3d 4
答案:b解:(用排除法)令,则得.
若,则,与矛盾;
若,则,与“在上单调递增”矛盾;
若,则,也与“在上单调递增”矛盾.
故选b.二、填空题(本大题共6小题,每小题9分,满分54分)
7.设集合,是s的子集,且满足:,,那么满足条件的子集的个数为。
答案:371.
解:当时,有种选择方法,有6种选择方法,所以共有种选择方法;当时,一旦取定,有种选择方法,有种选择方法,所以选择的方法有种.
综上,满足条件的子集共有371个.
8.已知数列满足,则。
答案:.解:由已知得,且.
所以,即{}是首项、公差均为1的等差数列,所以=n,即有。
9.已知坐标平面上三点,是坐标平面上的点,且,则点的轨迹方程为。
答案:.解:如图,作正三角形,由于也是正三角形,所以可证得 ≌,所以.
又因为,所以点共线.
所以p点在的外接圆上,又因为,所以所求的轨迹方程为。
10. 在三棱锥中,,,则三棱锥体积的最大值为。
答案:.解:设,根据余弦定理有,故,.由于棱锥的高不超过它的侧棱长,所以。事实上,取,且时,可以验证满足已知条件,此时,棱锥的体积可以达到最大.
11. 从m个男生,n个女生()中任选2个人当组长,假设事件a表示选出的2个人性别相同,事件b表示选出的2个人性别不同.如果a的概率和b的概率相等,则(m,n)的可能值为。
答案:(10,6).
解:,由于,所以,整理得.即是完全平方数,且,因此,解得(不合条件),.
所以.12.是平面上不共线三点,向量,,设p为线段ab垂直平分线上任意一点,向量.若,,则的值是。
答案:8.解:如图,是线段ab的垂直平分线,三、解答题(本大题共5小题,每题的解答均要求有推理过程,13小题10分,17小题14分,其余每小题12分,满分60分)
13.是两个不相等的正数,且满足,求所有可能的整数c,使得。
解:由得,所以,由此得到。
又因为,故4分。
又因为, 令则。……6分。
当时,关于t单调递增,所以,.
因此可以取1,2,310分。
14.如图,斜三棱柱的所有棱长均为,侧面底面,且。
1) 求异面直线与间的距离;
2) 求侧面与底面所成二面角的度数.
解:(1)如图,取中点d,连。
由。……4分。
∥平面。所以异面直线与间的距离等于。……6分。
2)如图,
8分。………12分。
15.设向量为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量.若向量, ,且.
1)求满足上述条件的点的轨迹方程;
2)设,问是否存在常数,使得恒成立?证明你的结论.
解:(1)由条件可知:.
由双曲线定义,得点p的轨迹方程:.…4分。
2)在第一象限内作,此时6分。
以下证明当pf与x轴不垂直且p在第一象限时,恒成立.
由,得。代入上式并化简得……10分。
由对称性知,当p在第四象限时,同样成立.
故存在常数,使得恒成立12分。
16.在数列中,,是给定的非零整数,.
1)若,,求;
2)证明:从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
解:(1自第22项起,每三个相邻的项周期地取值1,1,0,故=1.……4分。
2)首先证明数列必在有限项后出现零项.假设中没有零项,由于,所以。时,都有.……6分。
当时,()当时,()即的值要么比至少小1,要么比至少小1.……8分。
令,,则.由于是确定的正整数,这样下去,必然存在某项,这与矛盾,从而中必有零项10分。
若第一次出现的零项为,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值,即,
所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列。……12分。
17. 设定义在[0,2]上的函数满足下列条件:
对于,总有,且,;
对于,若,则.
证明:(1)()2)时,.
证明:由知,函数图像关于直线对称,则根据②可知:对于,若,则.……2分。
设,且,则.
在[0,1]上是不减函数4分。
1)∵,8分。
2)对于任意,则必存在正整数,使得。
因为在(0,1)上是不减函数,所以,由(1)知。
由①可得,在②中,令,得,∴.
而,∴,又,∴,时12分。
时,,且,∴,因此,时14分。
2023年河北省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分,共 分 已知数列 口 满足。口。则口的最大值为。若 均为正整数,且一 的值恰。好是由一个 一个 两个 组成的四位数,则满足条件的所有四位数是 已知口则口 口 的。值域为。标号为 号共 种颜色的卡片共计 张,加上两张空白卡片,平均放人...
2023年湖南省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分,共 分 已知平面内三点 满足。已知函数。口戈 口 则。在区间 内为减函数,在区间 将边长为 的正方形 沿 折成 的二面角 则 的中点与 的距离 一一 内为增函数 则 为。设 是两个集合,称 为一个。有黑 自 黄筷子各 支,不用眼睛看...
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分,共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...