（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数的图像过点（-1，3），则函数的图像关于轴对称的图形一定过点（ ）
a (1,-3) b (-1,3) c (-3,-3) d (-3,3)
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
a 4 b 6 c 8 d 16
3．若函数有最小值，则a的取值范围是（ ）
a b c d
4．已知则的最小值是（ ）
a b c 2 d 1
5．已知，则的取值范围是（ ）
a b c d
6．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（ ）
a 1 b 2c 3d 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合，是s的子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为。
8．已知数列满足，则。
9．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为。
10． 在三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为。
11． 从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件a表示选出的2个人性别相同，事件b表示选出的2个人性别不同．如果a的概率和b的概率相等，则（m，n）的可能值为。
12．是平面上不共线三点，向量，，设p为线段ab垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是。
三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分，17小题14分，其余每小题12分，满分60分）
13．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得。
14．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且。
1） 求异面直线与间的距离；
2） 求侧面与底面所成二面角的度数．
15．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量， ，且．
1）求满足上述条件的点的轨迹方程；
2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论．
16．在数列中，，是给定的非零整数，．
1）若，，求；
2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
17． 设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：
对于，总有，且，；
对于，若，则．
证明：（1）（）2）时，．
2023年河北省高中数学竞赛试题参***及评分标准。
时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数的图像过点（-1，3），则函数的图像关于轴对称的图形一定过点（ ）
a (1,-3) b (-1,3) c (-3,-3) d (-3,3)
答案：b.2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
a 4 b 6 c 8 d 16
答案：c.解： 设，即．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且与只能同为偶数，因此对应的方程组为。
故共有8组不同的值：；．
3．若函数有最小值，则a的取值范围是（ ）
a b c d
答案：c．解：当时，是递减函数，由于没有最大值，所以没有最小值；当时，有最小值等价于有大于0的最小值．这等价于，因此．
4．已知则的最小值是（ ）
a b c 2 d 1
答案：a.解：记，则， ，当且仅当时取等号）．故选a．
5．已知，则的取值范围是（ ）
a b c d
答案：d．解：设，易得，即．由于，所以，解得．
6．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（ ）
a 1 b 2c 3d 4
答案：b解：（用排除法）令，则得．
若，则，与矛盾；
若，则，与“在上单调递增”矛盾；
若，则，也与“在上单调递增”矛盾．
故选b．二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合，是s的子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为。
答案：371．
解：当时，有种选择方法，有6种选择方法，所以共有种选择方法；当时，一旦取定，有种选择方法，有种选择方法，所以选择的方法有种．
综上，满足条件的子集共有371个．
8．已知数列满足，则。
答案：．解：由已知得，且．
所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有。
9．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为。
答案：.解：如图，作正三角形，由于也是正三角形，所以可证得 ≌，所以．
又因为，所以点共线．
所以p点在的外接圆上，又因为，所以所求的轨迹方程为。
10． 在三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为。
答案：.解：设，根据余弦定理有，故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以。事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．
11． 从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件a表示选出的2个人性别相同，事件b表示选出的2个人性别不同．如果a的概率和b的概率相等，则（m，n）的可能值为。
答案：（10，6）.
解：，由于，所以，整理得．即是完全平方数，且，因此，解得（不合条件），.
所以．12．是平面上不共线三点，向量，，设p为线段ab垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是。
答案：8．解：如图，是线段ab的垂直平分线，三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分，17小题14分，其余每小题12分，满分60分）
13．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得。
解：由得，所以，由此得到。
又因为，故4分。
又因为， 令则。……6分。
当时，关于t单调递增，所以，.
因此可以取1，2，310分。
14．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且。
1） 求异面直线与间的距离；
2） 求侧面与底面所成二面角的度数．
解：（1）如图，取中点d，连。
由。……4分。
∥平面。所以异面直线与间的距离等于。……6分。
2）如图，
8分。………12分。
15．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量， ，且．
1）求满足上述条件的点的轨迹方程；
2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论．
解：（1）由条件可知：.
由双曲线定义，得点p的轨迹方程：.…4分。
2）在第一象限内作，此时6分。
以下证明当pf与x轴不垂直且p在第一象限时，恒成立．
由，得。代入上式并化简得……10分。
由对称性知，当p在第四象限时，同样成立．
故存在常数，使得恒成立12分。
16．在数列中，，是给定的非零整数，．
1）若，，求；
2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
解：（1自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=1．……4分。
2）首先证明数列必在有限项后出现零项．假设中没有零项，由于，所以。时，都有．……6分。
当时，（）当时，（）即的值要么比至少小1，要么比至少小1．……8分。
令，，则．由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项10分。
若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，
所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列。……12分。
17． 设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：
对于，总有，且，；
对于，若，则．
证明：（1）（）2）时，．
证明：由知，函数图像关于直线对称，则根据②可知：对于，若，则．……2分。
设，且，则．
在[0，1]上是不减函数4分。
1）∵,8分。
2）对于任意，则必存在正整数，使得。
因为在（0，1）上是不减函数，所以，由（1）知。
由①可得，在②中，令，得，∴．
而，∴，又，∴，时12分。
时，，且，∴，因此，时14分。
2023年河北省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分，共 分 已知数列 口 满足。口。则口的最大值为。若 均为正整数，且一 的值恰。好是由一个 一个 两个 组成的四位数，则满足条件的所有四位数是 已知口则口 口 的。值域为。标号为 号共 种颜色的卡片共计 张，加上两张空白卡片，平均放人...
2023年湖南省高中数学竞赛
年第 期 中圈分类号 文献标识码 文章编号。一。填空题 每小题 分，共 分 已知平面内三点 满足。已知函数。口戈 口 则。在区间 内为减函数，在区间 将边长为 的正方形 沿 折成 的二面角 则 的中点与 的距离 一一 内为增函数 则 为。设 是两个集合，称 为一个。有黑 自 黄筷子各 支，不用眼睛看...
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分，共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...