2023年广州市高二数学竞赛试题

2023年广州市高二数学竞赛试题参***与评分标准。

12.证明：过作，为垂足，在内，作，为垂足，连接，则。 ∵

平面，平面，∴平面。

平面，∴.是二面角的平面角。

在rt中。在rt和rt中。

13.解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延长线于。

在中， ,得，得。

在中， ,得。

同理可得。 ∵成等比数列，∴.

..∴动点的轨迹方程为。

2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大。

设与直线平行的直线方程为，代入，得，① 由，解得，由，得。故点到直线距离的最大值为。 k代入①式， .

14. 解：（1）当时，，当时，令，得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为。

2）①当时，，

恒成立。在上为增函数。故当时。

②当时，，（

(ⅰ)当即时，若时，，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时。 (当，即时，若时，;

若时， ,所以在区间上为减函数，在上为增函数，故当时，，且此时。

ⅲ)当；即时，若时，,所以在区间[1,]上为减。

函数，故当时。

综上所述，当时，在和上的最小值都是，所以在上的最小值为；

当时，在时的最小值为，而，所以在上的最小值为。

当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以在上的最小值为。

所以函数的最小值为。

15.解：（1）令，，又，. 令，得，即对任意的实数总成立，为偶函数。

2）令，得，，令，得。

是以为首项，以为公比的等比数列∴.

3）结论：. 证明：∵时，,∴即。

∴令（），故，总有成立。则∴对于，总有成立。 ∴对于，若，则有成立。

，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，则，令，，则。∵，即。

函数为偶函数，∴.

2011 5 15 考生注意用钢笔签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上不准使用计算器考试用时120分钟，全卷满分150分一选择题本大题共4小题，每小题6分，满分24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知函数，若，则的值为 abcd 2 已知数列的通项公式，设其前...