一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
1. 已知集合，，则＝（
a． b． c． d．空集。
2. 已知椭圆上一点p到点（4, 0）距离等于4，则p点到直线的距离为（ ）
a．4 b． 6 c． d．
3. 等差数列中，，，则部分和中最大的是（ ）
a． b． c． d．
4. 已知平面上单位向量，则下列关系式正确的是（ ）
a． b. c. d.
5. 方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）
a. b. c. d.
6. 设，则使代数式有意义的动点形成的图形（ ）
a. 关于x轴对称， b. 关于y轴对称， c. 关于直线对称 d. 关于直线对称。
7.的二项展开式中常数项为（ ）
a． b． c． d．
8. “函数f(x)在[0, 1]上单调”是“函数f(x)在[0, 1]上有最大值”的（ ）
a．必要非充分条件 b．充分非必要条件
c．充分且必要条件 d．既非充分也非必要条件。
9.已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（ ）
a． 1 b． c． d．
10. 问下述计算机程序的打印结果为（ ）
a． b． c． d．
二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分）
12．直线与函数的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围为。
13．对任意正整数n， 数列满足，则 。
14．已知，则 。
15．实数满足，则的最大值为 。
16．在边长为1的正方体中，分别为，上的点，且，则四边形的面积最小值为。
17．设，则自然数x，y，z的乘积能被10整除的情形有种。
三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）
18．三棱锥s-abc中，sa平面abc，，。
1） 求sc与平面abc所成夹角的正弦值；
2） 求b到平面asc的距离；
3） 求平面sbc与sac所成锐二面角的大小。
19． 已知抛物线（）上两个动点，o为坐标原点，。 1） 求线段ab中点的轨迹方程c； （2）若在c上的点到直线的距离为d，求d的最小值。
20． 设函数，其中，b为任意常数。证明：当时，有。
四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）
注：附加题每题的得分只能是：0，5，10，15，20，25，即5分为一个档次。
21．设（）且。试求，并证明之。
22.用一个数列取遍走遍复平面上所有整点：令，，然后按逆时针方向逐格前进。再令，其中i为虚数单位。求的最简洁的统一表达式。
2023年浙江省高中数学竞赛试卷参***。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
1． 解： 由于，所以。 答案为 a。
2．解：因为，则。于是p到另一个焦点的距离等于。
由于直线为椭圆的左准线方程，则p到直线的距离为答案为 c。
3．解： 由题意知， 。所以是单调递减数列。又。由此可得当时，最大答案为 c
4．解： 因为都是非零单位向量，以为边，为对角线构成一个菱形。所以答案为 b。
5．解：令，则。。
要使有三个不同的零点，则必须有，即，也即有答案为 a。
6．解： 由题意得，则动点（x，y）形成的图形关于直线y=x对称答案为 c。
7．解：由于，则出现常数项，须满足。
答案为 d。
8．解： 答案为b。
9．解： 答案为 c。
10．解： 答案为 d。
二．二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分）
11．解： 由于，所以。
12．解：通过作图可知，实数b的取值范围为。
13．解： 由题意得，。于是。
所以。14．解：
15．解：。
由此可得，其中等号成立当且仅当。
16．解：由题意，可得当e，f分别是，的中点时，四边形的面积可取到最小值。
17．解：（1）x，y，z的取法有种；（2）x，y，z不取2，4，6的取法有种；（3）x，y，z不取5的取法有种；（4）x，y，z不取2，4，5，6的取法有种。由容斥原理得，x，y，z的乘积能被10整除的情形有＝72。
三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）
18．解：在平面abc上，过a作。以a为原点，以向量ab，ad，as的方向分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。于是有，，，
2） 因为sa平面abc，所以sc与平面abc所成夹角就是。在直角△sac中，，于是。 （5分）
3） 设平面asc的法向量为，则且，而，所以，从而有。
于是b到平面asc的距离为11分）
4） 设平面sbc的法向量为，则且，而，所以，从而有。
设平面sbc与sac所成锐二面角为，则，即17分）
19．解：设，，则。又因为，所以。从而有，即有。 （5分）
1）设ab的中点坐标为，则。于是有。
即为该中点的轨迹方程11分）
当时17分）
20．证： 已知，所以为其极小值点，此时。
而。 7分）
1）；此时有。
(i) 当时，；
（此不等式显然成立）
于是有。(ii) 当时，；
此时同样有。
于是有。(iii) 当时，，此时考虑。
于是有。 （12分）
2)；此时有。由于，所以。于是有。
3）；此时有。由于，所以。于是有。
当时，；当时，。
综合1），2），3），有当时，有。（17分）
四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）
21．解： 由于5分）
令，则对任意，有。
即有10分）
从而有。由于，所以。 （15分）
上式等号成立的充要条件是，即。
因此25分）
评分标准：求出最小值得 5分；中间过程 20分。
22．解： 由于，所以应是模4的同余式。为了寻找规律，我们首先去求。
的表达式10分）在这里，对使的最小n，有。
所以20分）
即。当为偶数时，，所以。
即，也即有。
当为奇数时，，所以。
即，也即有。
总之有。于是有。
25分）
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分，共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...
2023年浙江省高中数学竞赛
年第 期 中图分类号 文献标识码 文章编号。一。选择题 每小题 分，共 分 已知 为虚数单位。则复数 一 一一 一 詈 下列函数中，既是奇函数，又在区间。一 上单调递增的函数为 已知 与易均为单位向量，其夹角为。则命题 口一 是命题 詈，的 条件 充分非必要 必要非充分 充分且必要 非充分也非必要。...
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谢谢你的观赏。通知。各县 市 教育局教研室 有关学校 2016年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办，嘉兴市参赛组织工作由嘉兴市中学数学教学分会负责。现将有关事宜通知如下 1 竞赛时间 2016年4月17日 星期日 上午9 00 11 00。2 参赛对象 1 高二学生参加a组竞赛。适当控制人数 ...