一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）
1.已知圴为锐角，且满足=－，则与的关系是
2.设为椭圆的两个焦点，p为椭圆上任意一点，则的最大值与最小值的和为。
3.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为。
4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为。
5.若函数在区间上的值域为，则=
6.若数列是单调递增数列，且，；则首项的值等于。
7.不等式的解集为。
8.表示不大于的最大整数，则方程的实数解是
9.在中，已知，则的值为。
10.已知集合m是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数t，对任意，恒有成立，现有函数，则实数的取值范围是。
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）
11.对于函数，若存在，使得成立，则称点为函数的不动点。
1）令，求证：点是函数的不动点，则点必是的不动点。
2）若对于任意实数b，函数总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。
3）若定义在r上的奇函数存在n个不动点，则n必为奇数。
12.过椭圆内一点，作直线ab与椭圆交于点a、b，作直线cd与椭圆交于c、d，过a、b分别作椭圆的切线交于点p，过c、d分别作椭圆的切线交于点q，求p、q连线所在的直线方程。
13.设是曲线上的点列，是正半轴上的点列，且均是等边三角形，又设它们的边长分别是；是数列的前项和，求。
14.设且，求三元函数的最小值，并给予证明。
2023年漳州市高中数学竞赛（高二年）
一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）
1.已知圴为锐角，且满足=－，则与的关系是
2.设为椭圆的两个焦点，p为椭圆上任意一点，则的最大值与最小值的和为 34
3.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为 90°
4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为 0.25
5.若函数在区间上的值域为，则=
6.若数列是单调递增数列，且，；则首项的值等于
7.不等式的解集为
8.表示不大于的最大整数，则方程的实数解是
9.在中，已知，则的值为
10.已知集合m是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数t，对任意，恒有成立，现有函数，则实数的取值范围是
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）
11.对于函数，若存在，使得成立，则称点为函数的不动点。
1）令，求证：点是函数的不动点，则点必是的不动点。
2）若对于任意实数b，函数总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。
3）若定义在r上的奇函数存在n个不动点，则n必为奇数。
证明（1）：由不动点的定义知，从而=
是的不动点。
2）由条件知，方程有两个不等实根，即有两个不等实根，恒成立，即对任意实数b，恒成立。
即，解得。3）由于是定义在r上的奇函数，从而，即是的一个不动点。
若有异于零的不动点， 则有，从而，即亦是的不动点，的非零不动点均为成对出现，共有个，由于是的不动点，的不动点共有个。
12.过椭圆内一点，作直线ab与椭圆交于点a、b，作直线cd与椭圆交于c、d，过a、b分别作椭圆的切线交于点p，过c、d分别作椭圆的切线交于点q，求p、q连线所在的直线方程。
解：如图，过点a、b、c、d的切线方程分别为。
因点在pa，pb上，则在pa，pb上，则。
这表明在直线上。
由于两点决定一直线，为，同理，cd所在的直线方程为，因为ab与cd相交于所以m点坐标分别满足ab，cd直线方程，因此。这表明p、q在直线上，由两点决定一条直线知，pq所在直线方程为。
13.设是曲线上的点列，是正半轴上的点列，且均是等边三角形，又设它们的边长分别是；是数列的前项和，求。
解：如图，的坐标为，直线的方程为，因此点的坐标满足，消去得，又，故
从而，从而。
两式相减得
已知。因此是以为公差的等差数列。
易得：，故。
14.设且，求三元函数的最小值，并给予证明。
证明：构造函数，
则由于时，单调递减，故在内单调递增。
对于且有。取， 得
即。同理有。从而。故
当时 故所求最小值为0.
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