2023年江苏省第十一届高等数学竞赛模拟试题（1）
一．填空题。
2.极限。3. 设， 则。
4. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数。
5. 设函数由方程所确定， 则曲线在点处的法线方程为___
6. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为。
7.已知函数，则。
8.不定积分：
11.已知函数在点处连续，且，则。
12. 若级数收敛，则的取值为
13.函数，则。
14. 设，则。
二．选择题。
1.函数的可去间断点为( )
a) (b) (c) (d)无可去间断点。
2.设，,则当时，是的( )
a)同阶无穷小但不等价 (b)低阶无穷小 (c)高阶无穷小 (d)等价无穷小。
3.．设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）
a）若只有一个零点，则必至少有两个零点；
b）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；
c）若没有零点，则至少有一个零点；
d）若没有零点，则至多有一个零点。
4.．设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（ ）
ab）；cd）。
5.．设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）
a）若只有一个零点，则必至少有两个零点；
b）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；
c）若没有零点，则至少有一个零点；
d）若没有零点，则至多有一个零点。
6..设常数，函数，在内零点个数为( )
a)3 (b)2 (c)1 (d)0
7.．设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（ ）
ab）；cd）。
8.．设则（ b ）
(a)；（b）；（c）；（d）
9.．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为1：3，则平面的一个方程为ab.
cd. 10.过点且与直线垂直的平面方程是( )
a) (b)
c) (d)
三．解答题。
1. 设，求常数。
2. 设，求。
3.已知函数由方程组确定，求。
4. 设在上连续，在内可导且对于内的一切均有，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之间，至少有一个零点。
5. 求． 求。 计算不定积分。
6.过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的图形面积最小。
7. 设曲线在点处的切线方程为，试求：
8. 将展开为的幂级数，并指明收敛区间。
9. 设，(1) 求函数的单调区间与极值；
2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
10. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。
1) 求的面积；
2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
11. 设在上连续，在内可导，且，证明： 在内至少存在一点，使。
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