说明。高等数学中的导数与积分内容是学习概率论不可缺少的知识，为了有助于同学们概率论的学习，特编写以下学习辅导材料。
对辅导材料的学习有以下建议：
1、将学习材料分几次学习，具体安排如下：
1)导数1～2(2);
2)导数2（3）～微分；
3)不定积分1～3（2）；
4)不定积分3（3）；
5)不定积分3（4）；
6)定积分；
7)二元函数的偏导数；
8)二重积分。
由于下学期是5月9日开学，按正常进度，一个月后概率论的学习将要用到导数与积分，因此希望同学们在这之前能将本辅导材料学习完毕。
2、在学习过程中，将材料中的例题作为习题自己再做一遍。
3、在学习过程中，推荐同济大学数学教研室编写的《高等数学》（上下册）作为参考教材，版本不限。参考教材也可以是其它高等数学或应用数学的教材，选择其中有关的内容进行学习。
高等数学学习辅导材料。
一元函数的导数、微分与积分。
一、 导数。
1、导数的概念。
函数的导数是对函数进行的一种运算，运算的结果也是一个函数。
函数的导数记作或或或。
如函数的导数等于，就记作。
函数的导数，反映了函数函数值的变化快慢程度。在区间上，则在区间上函数单调增加；在区间上，则在区间上函数单调减少。大，函数值变化迅速；小，函数值变化缓慢。
在区间上，则的函数值不变化，也就是函数是一个常数。因此，函数的导数也称为函数的变化率。
函数的导数在一点处的值记为，而是曲线在点处的切线的斜率。
2、求函数导数的方法：
1）导数基本公式：
常用的几个基本函数的导数有：
是常数；上述导数基本公式必须熟记。
（2）函数的和差积商的求导法则。
设函数与导数都存在，则。
上述和差积商的求导法则必须熟记。
例题：求下列函数的导数：
解解 解解 （3）复合函数的求导法则。
设由函数与复合而成的复合函数是，则的导数，或写成。
复合函数的求导法则告诉我们，复合函数的求导是先对中间变量求导，再乘上中间变量对自变量的导数。
例题：求下列函数的导数：
解设，则。
也可以：
*）其中是将中的作为中间变量，对该中间变量求导的结果，也就是法则中的的结果。
解设，则。
也可以 建议今后使用第二种表达方式求复合函数的导数。
解 这是一个由三个函数复合而成的复合函数求导问题，中间变量有两个，对应的求导法则应该是，而用第二种表达形式过程就显得更简明。
解二、 微分。
函数的微分也是对函数进行的一种运算，记为函数的微分，具有。
例如，，则。
例题1 求下列函数的微分
解 则。
解 则。
例题2 填空：
解因为，所以（为任意常数）。
解因为，所以（为任意常数）。
注意：该例告诉我们可以将看作为某个函数的微分，也就是，或等等，这种转化在以后的学习中会用到。
三、不定积分。
1、原函数。
两个函数与在区间上有定义，若在区间上每一点都有，则称是在区间上的一个原函数。
例如，因为在上，所以在上，是的一个原函数。
2、不定积分。
函数的全体原函数称为函数的不定积分，记作。
其中称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量。
若是的任一个原函数，可以证明（为任意常数）就是的全体原函数，从而。
例如，我们已经知道是在上的一个原函数，所以。
根据不定积分的定义可见，我们可以从导数的基本公式获得不定积分的基本公式。
3、求不定积分的方法。
1）基本积分公式：
常用的不定积分的基本公式有：
注意1作为被积函数时可以省略。
2）不定积分的性质。
是常数。上述不定积分的基本公式及法则必须熟记。
例题求下列不定积分。
解解 3）换元积分法。
引例：求不定积分。
分析：根据函数的微分的定义，积分表达式中的可以看作的微分，也就是，所以，这时可以将看成积分变量，也就是可以设新积分变量，那么。
这就构成了换元积分法。
例题求下列不定积分。
解 设，则。
解 设，则。
解 设，则。
4）分部积分法：设与是两个的函数，则。
这就是分部积分法。
分部积分公式可以简记成。
分部积分法源自两函数积的求导法则，证明见下：
由与积的导数公式，可以得到。
上式两边进行不定积分，得。
而，。所以得分部积分公式。
如。例题求下列不定积分。
解解 本题使用了两次分部积分法。
四、定积分。
1、曲边梯形的面积与定积分。
我们将下面的图形a称为曲边梯形。
一般，平面直角坐标系中，由闭区间上连续的曲线、直线、以及轴所围图形称为曲边梯形，其中在区间上函数，也就是曲线位于ｘ轴的上方。
曲边梯形的面积ａ就等于一个定积分，用表示区间上的定积分，则有曲边梯形的面积ａ＝。
在定积分中，称为积分号，区间称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量。
2、定积分的计算方法。
若是的任一个原函数，则。
上式称为牛顿-莱布尼茨公式。
公式表明，定积分的计算可以分两步进行，先用不定积分的计算方法求出被积函数的任一原函数，再计算该函数在闭区间上的增量。
也可写成或。
例题计算下列定积分。
解因为，所以。
解因为，所以。
解因为。所以。
解解 ＝解由于。所以。
解 ＝＝
解 ．解 10、计算由抛物线，直线，轴所围图形的面积ａ．
解先作出图形（如图）．
则积分区间是．
因为该图形是曲边梯形。
所以所求面积为。
二元函数的偏导数与二重积分。
一、二元函数的偏导数。
1、二元函数。
含有两个自变量的函数称为二元函数，记作，其中称为自变量，称为函数或因变量。
如，，等都是二元函数。
2、二元函数的偏导数。
在二元函数中，我们将作为常数对求导数，所得的函数就称为函数对的偏导数，记作或或或。类似有函数对的偏导数，记作或或或。
由二元函数的偏导数的概念，可见二元函数无论是对的偏导数还是对的偏导数，实际上都是将二元函数当成一个一元函数求导数，因此求二元函数的偏导数完全可以利用一元函数的导数基本公式及法则。
例题１ 设，求与。
解在中，将作为常数对求导数，得。
在中，将作为常数对求导数，得。
如同一元函数的高阶导数，二元函数同样有二阶偏导数，三阶偏导数等。
一般，二阶偏导数及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数共有四个，分别记作、、与。而的三阶偏导数共有八个，其中一个是。
例题２，求的二阶偏导数。
解由例题１，因为=，所以，；
因为=，所以，.
注意，这里有。
一般，二元函数，都具有。
二、二重积分。
1、曲顶柱体的体积与二重积分。
在空间直角坐标系中，xoy平面上有一个区域d，区域d的边界线为l，在d上有一个曲面，具有，也就是该曲面位于xoy平面的上方。
我们以区域d为底，曲面为顶，以平行于z轴的直线沿边界线l移动一周形成的曲面为侧面，如此形成的立体称为曲顶柱体（如图）。
那么这个曲顶柱体的体积v就等于一个二重积分，这个二重积分就记作。
或。则有曲顶柱体的体积。
当积分区域是矩形，且矩形的边平行于x和y轴时，二重积分也可以记为（如图）。
在二重积分中，称为积分号，d称为积分区域，称为被积函数，称为积分变量，与称为面积元素。
2、二重积分的计算方法。
一般，二重积分是化为二次积分进行计算的，也就是化为两次一元函数的积分进行计算。
二重积分的计算有两种计算方法，分别称为利用直角坐标计算二重积分与利用极坐标计算二重积分，在这里我们只介绍利用直角坐标计算二重积分的方法。
利用直角坐标计算二重积分，要根据积分区域d的情况，确定积分变量x与y的积分的先后次序与二次积分的上限与下限，具体见下面。
1）积分区域d是x型区域。
所谓区域d是x型区域，是指区域d由闭区间上曲线、以及直线、所围成，其中闭区间上曲线位于的上方（如图）。
若积分区域d是x型区域，则在区域d上的二重积分就可以化为二次积分计算：
在这个式子中先将作为常数，对进行积分，然后再对进行积分，所用到的方法仍然是一元函数的积分的方法。
上式也可以写为。
但意义仍同前。
注意，x型区域上的二重积分化为二次积分，先对进行积分。
２）积分区域d是y型区域。
所谓区域d是y型区域，是指区域d由区间上曲线、以及直线、所围成，其中区间上曲线位于的右方（如图）。
若积分区域d是ｙ型区域，则在d上的二重积分就可以化为下式计算： 。在这个式子中先将作为常数，对进行积分，然后再对进行积分。
上式也可以写为。
注意，ｙ型区域上的二重积分分化为二次积分，先对进行积分。
由此可见，在进行二重积分的计算时必须先将积分区域d的图形画出来，然后根据积分区域d的图形的情况确定d是x型区域还是y型区域，从而获得积分的次序与二次积分的积分上、下限，将二重积分化为二次积分进行计算。
通常积分区域的边界线主要由直线、抛物线、圆以及双曲线组成，对于这些曲线与直线的图形我们应该相当熟悉。
例题１ 计算。
解作出积分区域的图形，我们可以将d作为x型区域。
求出曲线与直线交点坐标，得。则。
例题2 计算。
解作出积分区域的图形，将d作为y型区域，求出曲线与直线交点坐标，得，.则。
本题若将积分区域作为x型区域，那么只能将区域划分为两个区域分别进行计算，过程将会很长。
高等数学竞赛辅导
1.求。分析求项的和当时的极限，用到积分和式求极限与夹逼定理。将适当放大 缩小是解题的关键之一，另外注意到用定积分求。解 且。所以，由夹逼定理知。2.求极限。分析本题明显是型不定式，结合变上限函数，故用洛必达法则求解。解法1 解法2 3.求极限。分析本题包含幂指函数，如果考虑用洛必达法则将使计算很繁...
考研数学辅导材料
第一部分一元函数极限与连续 一 一元函数的极限。1.利用函数与其极限的关系 其中 2.利用等价无穷小代换。思考题 设具有二阶导数，且，试求，及。3.利用夹逼准则。思考题 求周期函数的均值 设为定义在r上以t为周期的连续函数，且，求证 若，求。4.利用导数定义。思考题 设满足，且，求。5.利用泰勒中值...
数学基础 辅导材料
ab.cd.11.零点定理 设函数在闭区间上连续，且，则在开区间内至少存在一点使得 p 24 ab.cd.0 12.函数在处连续的充分必要条件是 p 23 a.任意b.任意，c.都任意d.13 在给定的自变量变化过程中，下列函数属于无穷小量的是 p 15 ab.cd.14 在给定的自变量变化过程中，...