第一部分一元函数极限与连续
一、一元函数的极限。
1. 利用函数与其极限的关系（，其中）
2. 利用等价无穷小代换。
思考题：设具有二阶导数，且，试求，，及。
3. 利用夹逼准则。
思考题：（求周期函数的均值）设为定义在r上以t为周期的连续函数，且，求证；若，求。
4. 利用导数定义。
思考题：设满足，且，求。
5. 利用泰勒中值公式。
思考题：求。
6. 利用积分中值定理。
思考题：求，其中是上的连续函数，.
二、 数列极限。
类型1至6同函数极限。
类型1思考题：已知在处可导，、为趋于零的正数数列，求。
7. 利用定积分定义。
思考题：求。
8. 夹逼准则与定积分定义相结合。
思考题：求。
9. 利用数项级数的部分和。
思考题：证明存在。
10. 利用级数收敛的必要条件。
思考题：求。
第二部分一元函数微分学。
1.设函数其中函数处处连续。 讨论在。
处的连续性及可导性。
2.求极限为自然数。
3.设，求。
4.设函数在区间上可导，且， ,证明在区间上存在两点， ,使。
5．已知函数在的某个邻域内有连续导数，且。
试求及。6.设在二阶可导，，，求证：
7．设函数满足方程求函数的极大值和极小值。
8.设求证：
1)对于任何自然数，方程在区间中仅有一根。
2)设满足，则。
9．设在上具有连续导数， 且试证。
10.设为正实数，试证：
第三部分一元函数积分学。
一．计算下列积分。
1. 设，求。
3. 下列结论中正确的是。
a)与都收敛。 （b）与都发散。
c)发散，收敛。 (d)收敛，发散。
4. 求定积分为正整数）
5. 求p的值，使．
二。 用倒代换计算 ，（
三． 设n为自然数，计算积分。
四． 设在区间连续，,
试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；
4）设在内的最大值和最小值分别是， 求证：.
五．设的一个原函数，且，求。
六． 设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0, ,证明：对任何a,有
七． 设f (x) ,g(x)在[a , b]上连续，且满足。
x [a , b)，.
证明： 八． 曲线c的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线c在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f ( x ) 具有三阶连续导数，计算定积分。
九． 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形d.
1) 求d的面积a;
2) 求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.
十． 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.
汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米。）
第四部分空间解析几何与多元函数微分学部分。
1. 已知两相互垂直平面通过直线：，且其中一平面经过点，求这两个平面方程。
2.求圆周的圆心和半径。
3. 试求通过三条直线的圆柱面方程。
4.过直线作曲面的切平面，求此切平面的方程。
5. 设是由方程确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：和。
6. 求函数在区域上的最大值和最小值。
7. 求两条直线，的公垂线的方程和公垂线的长。
8. 设函数有二阶连续偏导数，满足方程，且求。
9. 将直线绕轴旋转一周，求旋转曲面的方程。并求此旋转曲面与所围立体的体积。
10. 设函数满足，试求函数的表达式。
11. 设，而是由方程所确定的的隐函数，其中和都具有连续偏导数。证明。
12. 求曲线： 的、及在点( 1, 1, 1 )的切线与法平面方程。
第五部分多元函数积分学。
1、计算。2、设连续，，由确定，试求，其中。
3、设锥面被平面截下的（有限）部分为，求的面积。
4、证明，其中。
5、作适当的变换，计算，其中是由两条双曲线和，直线和所围成的在第一象限内的闭区域。
6、计算，其中。
7、计算，为球壳的外表面。
8、应用高斯公式计算三重积分，其中是由，，与所确定的空间区域。
9、求，其中是上半球面。
与柱面的交线，的方向规定为从轴正向看逆时针。（提示：斯托克斯公式）
10、设函数在闭区域上有二阶连续偏导数，且证明：。
第六部分级数、微分方程。
1.试求无穷级数的和。
2. 求级数的收敛域并求其和．
3. 设函数在的某邻域内具有二阶连导数，且，证明：级数绝对收敛。
4. 设，试求的值。
5. 设， ,1）求幂级数的和函数；（2）求的极值。
6.设是上递减的连续函数，且，证明数列收敛，其中。
7. 证明收敛，并求和．
8. 判断级数的敛散性．
9.设函数在上有定义，在的某邻域内有连续的二阶导数，时，当时是的高阶无穷小，且有，证明：级数收敛。
10、求微分方程的通解．
11、设函数可微，，，且满足，求。
12、设函数具有连续导数，函数满足方程，若，，求函数的表达式。
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