初中数学竞赛专题选讲。
识图。一、内容提要。
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像。
点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。
4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。
二、例题。例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？
解：甲图中有10个角：∠aob, ∠aoc,∠boc,∠bod,∠cod, ∠coe,∠doe,∠doa,∠eoa,∠eob.如果oa和oc成一直线，则少一个∠aoc，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△abc，△abd，△bdc，△bde，△dec
丙图中有全等三角形4对：(设ac和db相交于o)
aob≌△cod，△aod≌△boc，△abc≌△cda，△bcd≌△dab。
丁图中共有等边三角形48个：
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15
顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10
顶点在下▼的个数有 1＋2＝3
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6
边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3
边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1
以上要注意数一数的规律。
例2.设平面内有6个点a1，a2，a3，a4，a5，a6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？
试画出图形。
2023年全国初中数学联赛题）
解：从点a1与其他5点连线有5条，从点a2与其他4点（a1除外）连线有4条，从a3与其他3点连线有3条（a1，a2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。
要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：a1a4，a2a5，a3a6a5 a4
a6a3 a1 a2
例3.如图水平线与铅垂线相交于o，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在o点时，乙离点o为500米，2分钟后，甲、乙离点o相等；又过8分钟，甲、乙再次离点o相等。求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2
乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y
米，根据题意得。
甲 o 甲1甲2 解得12x=8y
乙1x∶y=2∶3
乙0答甲和乙的速度比是2比3。
例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
2023年全国初中数学联赛题。
解：如图△abc中一个点d，与a，b，c各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点e，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点f，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。
一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个。
a aa f
d eeb c dd
b c bc
三、练习。1. 数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，丙图中有全等三角形＿＿对。
a d d c a
e dc e b a b
甲乙 b 丙 c
2. 平面上有5个点a，b，c，d，e，其中a，b，c三点在同一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作。
3. 以o为端点画6条射线oa，ob，oc，od，oe,of,那么可组成的角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。
4. 在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n＋3个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿个。
5. 下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个。
全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。
6. 如图长方形abcd中，e，f，g分别在边。
bc，cd，da上，以a为一个顶点，其他两点。
在b，c，d，e，f，g中任选，总共可组成的。
三角形的个数是＿＿（2023年泉州市初二数学双基赛题。
7. 平面上有6个点a，b，c，d，e，f其中任意3个点都不在同一直线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图。
8如图oc⊥ab于o，od⊥oe于o，写出图中。
相等的角。互余的角。
互补的角。g c 如图长方形abcd中，ab＝5，bc＝4
ae＝bf＝1，cg＝dh＝2
h f 那么四边形efgh的面积是＿＿（平方单位。
a e b10.如图a，b，c，d四点在同一直线上，到a，b，c，d各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？
距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（2023年全国初中数学联赛题）
a b c d
11.正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答。
a） (bc) (d)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。
提示：可设圆周长为x 米，并引入参数v甲，v乙列方程组解之。
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